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Komplexe Kurvenintegrale

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis

muri10 aktiv_icon

15:21 Uhr, 12.12.2020

Hallo,

Folgende Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden komplexen Kurvenintegrale für die in Abbildung 1 angegeben Kurven

(a)

\int_{C_{1}} \frac{1}{z^{2}} d z

(b)

\int_{C_{2}} sin (z) cos (z) e^{{sin}^{2} (z)} d z

(c)

\int_{C_{3}} e^{z^{2}} d z

(a)

habe ich gelöst, das Ergebnis ist 0

(b) C_{2} : γ (t) = (- \frac{π}{4}) e^{- i \cdot t} + \frac{π}{4}, t \in [0, π]

\dot{γ} (t) = i \cdot \frac{π}{4} \cdot e^{i \cdot t}

f (z) = sin (z) cos (z) e^{{sin}^{2} (z)}

\int_{C_{2}} f (z) d z = \int_{t_{1}}^{t_{2}} f (γ (t)) \cdot \dot{γ} (t) d t

= \int_{0}^{π} sin ((- \frac{π}{4}) e^{- i \cdot t} + \frac{π}{4}) cos ((- \frac{π}{4}) e^{{sin}^{2} ((- \frac{π}{4}) e^{- i \cdot t} + \frac{π}{4})} \cdot \frac{π}{4} \cdot i \cdot e^{- i \cdot t} d t

Ab hier weiß ich nicht, wie ich diesen Riesenterm vereinfachen und/oder integrieren soll.

(c)

C_{3} : γ (t) = 2 \cdot e^{i \cdot t}, t \in [0, 2 \cdot π]

\dot{γ} (t) = 2 \cdot i \cdot e^{i \cdot t}

f (z) = e^{z^{2}}

\int_{C_{2}} f (z) d z = \int_{t_{1}}^{t_{2}} f (γ (t)) \cdot \dot{γ} (t) d t

= \int_{0}^{2 \cdot π} e^{{(2 \cdot e^{i \cdot t})}^{2}} \cdot 2 \cdot i \cdot e^{i \cdot t}

= 2 \cdot i \int_{0}^{2 \cdot π} e^{4 \cdot e^{2 \cdot i \cdot t} + i \cdot t}

Hier weiß ich leider auch nicht weiter. Der Integralrechner spuckt
(sqrt(pi)/2)*erfi(2*e^(i*t)) als Integral aus, ich kann mich aber nicht daran erinnern, erfi in der Vorlesung gehabt zu haben und weiß auch nicht, ob das als Antwort erwartet wird.

Danke schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:46 Uhr, 12.12.2020

Hallo,

bei

b)

solltest Du mal die Ableitung von

e x p ({sin (z)}^{2})

berechnen.

Bei

c)

ist die Frage, ob Ihr den Cauchy-Integralsatz kennt.

Gruß pwm

muri10 aktiv_icon

19:03 Uhr, 12.12.2020

\frac{d}{d z} e^{{sin}^{2} (z)}

= 2 sin z cos z \cdot e^{{sin}^{2} (z)}

Muss ich dann den Ansatz

F (γ_{2}) - F (γ_{1})

nehmen, anstatt

f (γ (t)) \cdot \dot{γ (t)}

?

So genau weiß ich aber nicht, wie ich weiter machen soll.

zur

(c)

Ist das der einzige Weg, das Integral zu berechnen?

muri10 aktiv_icon

16:23 Uhr, 13.12.2020

Kann mir hier keiner weiterhelfen?

ermanus aktiv_icon

16:46 Uhr, 13.12.2020

Hallo,
betrachte doch mal

\frac{d}{d t} (e^{4 e^{2 i t}})

.
Gruß ermanus

muri10 aktiv_icon

16:57 Uhr, 13.12.2020

\frac{d}{d t} e^{4 \cdot e^{2 i \cdot t} + i \cdot t}

= (8 \cdot i \cdot e^{2 \cdot i \cdot t} + i) e^{4 \cdot e^{2 i \cdot t} + i \cdot t}

nun?

ermanus aktiv_icon

17:04 Uhr, 13.12.2020

Sorry, funktioniert wohl noch nicht.
Ich denke nochmal drüber nach.

muri10 aktiv_icon

17:18 Uhr, 13.12.2020

Also bei der

(b)

habe ich es nun geschafft. Sowohl für

\int_{t_{2}}^{t_{1}} f (γ (t)) \cdot \dot{γ} (t) d t

als auch für

F (γ (t_{2})) - F (γ (t_{1}))

kommt

0,5 (e - 1)

raus. (Weil das ein wegunabhängiges Integral ist?)
Ich habe mal den ersten Ansatz und Rechenweg stehen lassen, damit ich nicht noch zeigen muss, dass es wegunabhängig ist.

ermanus aktiv_icon

17:24 Uhr, 13.12.2020

Zu b) wenn dein Integrand eine Stammfunktion besitzt, ist das
Integral automatisch wegeunabhängig.
Zu c) ich strecke erstmal die Waffen. Wenn du den Intgeralsatz von
Gauss benutzen dürftest, hättest du sofort, dass das Integral

= 0

ist.

muri10 aktiv_icon

17:30 Uhr, 13.12.2020

Gilt also jedes Mal auch

F (γ (t_{2})) - F (γ (t_{1}))

?

Warum wird dann meist mit

\int f (γ (t)) \cdot \dot{γ (t)} d t

gearbeitet?

Wie würde Gauß hier weiterhelfen?

pwmeyer aktiv_icon

17:49 Uhr, 13.12.2020

Hallo,

ich habe die Anwort von muri auf ermanus

16.46

nicht verstanden.

Gruß pwm

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