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Komplexe Zahl drehen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

bastianp01 aktiv_icon

14:18 Uhr, 24.01.2011

Hallo zusammen.
Ich hab hier eine Aufgabe zu komplexen Zahlen.

Es geht um die komplexe Zahl

Z

mit

Z := \sqrt{2} \cdot (1 - 2 i)

Die soll man jetzt in mathematisch positiver Drehrichtung (also linksrum im Koordinatensystem ja?) um den Drehpunkt

(0, 0)

um 45° drehen. Der neue Punkt, der daraus entsteht heißt P. Jetzt soll man die

x

und

y

Koordinate von

P

berechnen.

Ich hab das über Tan

α = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}}

berechnet. Der Winkel (das Argument) der komplexen Zahl ist dann 63.435°. Dazu dann 45° addieren und den Punkt

P

dann wieder mit sin und

cos

bestimmen.

Ich hoffe das war bisher Alles richtig. Ich komme zumindest so auf das richtige Ergebnis von

x = 3

und

y = - 1 .

Mein Problem ist aber jetzt dass wir in der Prüfung keinen Taschenrechner benutzen dürfen... und im Kopf kann ich das nich. Kennt jemand einen weg, wie man die Aufgabe ohne Taschenrechner lösen kann? Man müsste dann ja irgendwie auf tan verzichten aber mir fällt dazu leider nichts ein.

Bin für jeden Hinweis dankbar.

Viele Grüße
Bastian

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

14:45 Uhr, 24.01.2011

...die komplexe Zahl ist ja aus den beiden Einzelvektoren der reellen und imaginären Zahlen zusammengesetzt.

Also drehen wir einfach die einzelnen Vektoren um 45°:

aus reell

\sqrt{2}

wird komplex

\sqrt{2} \cdot (cos (φ) + i \cdot sin (φ))

aus imaginär

- 2 \cdot \sqrt{2} \cdot i

wird komplex

- 2 \cdot \sqrt{2} \cdot i \cdot (cos (φ) + i \cdot sin (φ))

was identisch ist mit

- 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (i \cdot cos (φ) - sin (φ))

Diese beiden Vektoren(komplexe Zahlen ) sind nun einfach zu addieren:

\sqrt{2} \cdot (cos (φ) + i \cdot sin (φ)) - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (i \cdot cos (φ) - sin (φ))

= \sqrt{2} \cdot cos (φ) + \sqrt{2} \cdot i \cdot sin (φ) - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot i \cdot cos (φ) + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot sin (φ)

wegen

sin (45) = cos (45) = \frac{1}{\sqrt{2}}

= \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + i \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot i \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}

= 1 + i - 2 \cdot i + 2

= 3 - 1 \cdot i

bastianp01 aktiv_icon

14:52 Uhr, 24.01.2011

super danke dir!

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