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Komplexe Zahlen

Schüler

Tags: Potenz komplexe Zahlen

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10:44 Uhr, 18.03.2025

Kann mir bitte jemand die Lösung folgender Aufgabe zeigen:

2^{i}

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

mathadvisor aktiv_icon

10:56 Uhr, 18.03.2025

Das ist keine Aufgabe, sondern ein Ausdruck. Wenn der umgeschrieben werden soll, verwende die e-Funktion (

2 = e^{\ln 2}

) und Potenzrechenregeln.

HAL9000

11:20 Uhr, 18.03.2025

z^{w}

für komplexe

z, w

mit

z \neq 0

ist definiert gemäß

z^{w} = \exp (w \cdot \ln (z))

.

Wenn man nur einen Potenzwert meint (was die Regel ist, zumal dann wenn dieser Wert Bestandteil einer größeren Formel ist), dann ist mit

\ln

der Hauptwert des komplexen Logarithmus gemeint.

Gelegentlich gibt es aber auch die Auffassung, das als mehrwertigen Ausdruck anzusehen, basierend auf dem mehrwertigen komplexen Logarithmus. In dem Fall geht es (wieder mit dem Logarithmus-Hauptwert

\ln

) um

z^{w} = \exp (w \cdot (\ln (z) + 2 k π i))

mit

k \in ℤ

.

Am Beispiel

z = 2, w = i

2^{i} = \exp (i \cdot (\ln (2) + 2 k π i)) = \exp (- 2 k π + i \ln (2)) = \exp (- 2 k π) \cdot \exp (i \ln (2)) = e^{- 2 k π} \cdot (\cos (\ln (2)) + i \sin (\ln (2)))

Den Hauptwert dieser Potenz bekommt man für

k = 0

HJKweseleit aktiv_icon

17:20 Uhr, 18.03.2025

Wegen

e^{- 2 k π}

= 1 für alle k

\in ℤ

gibt es also nur eine einzige Lösung.

HAL9000

17:48 Uhr, 18.03.2025

Nein: Da steht

e^{- 2 k π}

, nicht

e^{- 2 k π i}

. Letzteres ist stets 1, ersteres nur für

k = 0

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20:59 Uhr, 18.03.2025

Ich bräuchte noch folgenden Ausdruck in Komponentenform:

{(7 - i)}^{5}^i

(Es soll heißen hoch

5 i)

Vielen Dank.

HAL9000

21:34 Uhr, 18.03.2025

Na geh doch nach obiger Definition vor, d.h.

{(7 - i)}^{5 i} = \exp (5 i \cdot \ln (7 - i))

.

Erster Schritt: Kannst du

\ln (7 - i)

berechnen? Zur Erinnerung: In Polardarstellung gilt

\ln (r \cdot e^{i φ}) = \ln (r) + i φ

, zumindest falls

φ \in (- π, π]

.

D.h., du musst die Polardarstellung

r \cdot e^{i φ}

von

7 - i

berechnen - sowas habt ihr doch schon mal gemacht?

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16:19 Uhr, 20.03.2025

Nein, ich komme nicht weiter oder kann mich an nichts Ähnliches erinnern.

KL700 aktiv_icon

16:33 Uhr, 20.03.2025

Benutze:

2^{i} = e^{{ln 2}^{i}} = e^{i \cdot ln 2}

und:

e^{i \cdot x} = cos (x) + i \cdot sin (x)

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16:43 Uhr, 20.03.2025

Ich komme mit

7 - i

nicht weiter.

calc007

18:56 Uhr, 20.03.2025

(7 - i)

ist eigentlich sehr, sehr basis-greifendes Niveau.
Da wissen wir auch nicht, wie wir das noch einfacher darstellen könnten.

Meine beste Vermutung ist, dass du mit

ln (7 - i)

nicht weiter kommst.
Da hilft dann der Tipp, dass sich jede komplexe Zahl ja auch in Polarform darstellen lässt.

HAL9000

16:21 Uhr, 21.03.2025

> Nein, ich komme nicht weiter oder kann mich an nichts Ähnliches erinnern.

Das ist schon einigermaßen starker Tobak, die Polardarstellung

r \cdot e^{i φ}

einer in der algebraischen Form gegebenen Zahl

a + i b

nicht berechnen zu können. Das sollte in der ersten, spätestens zweiten Lehrveranstaltung zum Thema komplexe Zahlen dran gewesen sein...

Nun gut: Es ist

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

der Betrag der komplexen Zahl

z = a + i b

und zumindest im Fall

a > 0

dann

φ = \arctan (\frac{b}{a})

ihr Argument (den Fall

a \leq 0

diskutiere ich jetzt nicht, da wir den hier zumindest nicht brauchen).

z = 7 - i

heißt

a = 7, b = - 1

, dann bekommen wir

r = \sqrt{50}

sowie

φ = \arctan (- \frac{1}{7})

Demzufolge ist dann

\ln (7 - i) = \ln (\sqrt{50}) + i \cdot \arctan (- \frac{1}{7}) = \frac{1}{2} \ln (50) - i \cdot \arctan (\frac{1}{7})

der Logarithmus-Hauptwert. Wenn du jetzt immer noch nicht weiter weißt muss ich ernsthaft in Zweifel ziehen, dass du auch nur irgendwas hier im Thread wirklich gelesen hast.

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16:29 Uhr, 21.03.2025

Ich habe jetzt die Polarform berechnet:
Wurzel

48

und

6,141

.
Ich forme um auf Exponentialform mit

ln

wurzel

48 \cdot 5 i

und

6,141 \cdot 5 i

.
Wie geht es dann weiter?

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16:36 Uhr, 21.03.2025

Entschuldigung Wurzel

50

HAL9000

22:49 Uhr, 21.03.2025

6,141 ??????

Das Argument muss im Bereich

(- π, π]

liegen - zumindest für den Logarithmus-Hauptwert.

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07:53 Uhr, 22.03.2025

Muss ich nicht schauen in welchem Quadranten die Zahl liegt und von

2 π - 0,142

wegzählen?

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07:53 Uhr, 22.03.2025

Muss ich nicht schauen in welchem Quadranten die Zahl liegt und von

2 π - 0,142

wegzählen?

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09:10 Uhr, 22.03.2025

Und wie geht die Rechnung dann weiter?
In(wurzel50*5)*cos(-0,142*5) ergibt nicht das richtige Ergebnis. Oder liege ich wieder total falsch?

mathadvisor aktiv_icon

11:10 Uhr, 22.03.2025

In welchem Intervall das argument liegt, ist nicht einheitlich geregelt. Es zählt, was in Deinen(!) Unterlagen steht. Schau da rein.
Rechne erstmal mit

φ

und setze den Zahlenwert erst am Ende ein.
Ansonsten, wie's weitergeht, hat HAL9000 oben ja erklärt (von diesem Weg bist Du bereits abgewichen).

HAL9000

12:28 Uhr, 22.03.2025

Nochmal ausführlicher: Bei

a + i b = r \cdot e^{i φ}

ist der Winkel

φ

(auch "Argument" genannt) nicht eindeutig bestimmt, sondern es können ganzzahlige Vielfache von

2 π

addiert werden, und es stimmt trotzdem. Du hast nun den Winkel so bestimmt, dass er ins Intervall

[0, 2 π)

fällt - das ist an der Stelle Ok.

Die Formel

\ln (r \cdot e^{i φ}) = \ln (r) + i φ

für den Hauptwert des Logarithmus stimmt aber nur, wenn

φ \in (- π, π]

gilt, daher ist dein zusätzliches Addieren von

2 π

zum arctan-Winkel hier kontraproduktiv.

Und zur eigentlichen Potenz: Du sollst nicht

{(7 - i)}^{5}

berechnen, sondern

{(7 - i)}^{5 i}

...

Randolph Esser aktiv_icon

16:41 Uhr, 22.03.2025

Ich kann folgende Rechnung anbieten:

{(7 - i)}^{5 i}

= e^{ln (7 - i) 5 i}

= e^{ln (\sqrt{50} e^{i a r c s i n (- \frac{1}{\sqrt{50}})}) 5 i}

= e^{(ln (\sqrt{50}) + ln (e^{i a r c s i n (- \frac{1}{\sqrt{50}})})) 5 i}

= e^{i 5 ln (\sqrt{50}) - 5 a r c s i n (- \frac{1}{\sqrt{50}})}

= e^{i 5 ln (\sqrt{50}) + 5 a r c s i n (\frac{1}{\sqrt{50}})}

= e^{5 a r c s i n (\frac{1}{5 \sqrt{2}})} e^{i 5 ln (5 \sqrt{2})}

= r e^{i α}

mit

r := e^{5 a r c s i n (\frac{1}{5 \sqrt{2}})} \approx 2,03294

und

α := (5 ln (5 \sqrt{2})) mod (2 π) \approx 3,49687

.

Und in der Tat gilt nun:

2,03294 e^{3,49687 i} \approx - 1,905 - 0,707 i \approx {(7 - i)}^{5 i}

.

Angewendet wurde hier

\sqrt{50} = 5 \sqrt{2}

sowie

a r c s i n (- w) = - a r c s i n (w)

für alle

w \in R

.

Und natürlich klappt es auch mit

α := 5 ln (5 \sqrt{2}) \approx 9,78005

.

Auch dann gilt

2,03294 e^{9,78005 i} \approx - 1,905 - 0,707 i \approx {(7 - i)}^{5 i}

Sehrratlos aktiv_icon

20:47 Uhr, 24.03.2025

Vielen Dank allen Beteiligten. Ich lasse mir die Rechnung nochmals vom Professor erklären.

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