Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Komplexe Zahlen, Betrag Beweis

Komplexe Zahlen, Betrag Beweis

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

Kaloffi aktiv_icon

14:13 Uhr, 14.08.2018

Aufgabe: Zu zeigen: |zw|

= | z | \cdot | w |

|zw|=|(x-iy)(x´-iy´)|=|xx´-iy´x-iyx´+iyiy´|=|xx´-iy´x-iyx´-yy´| = ??? = |x-iy|*|x´-iy´|

Leider schaffe ich es nicht die beiden Teile zu verbinden. LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

14:20 Uhr, 14.08.2018

Hallo,
du musst die Definition von

∣ z ∣

verwenden, sonst kommst du
wohl kaum weiter.
Gruß ermanus

Kaloffi aktiv_icon

14:41 Uhr, 14.08.2018

| z | \cdot | w | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \cdot \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{x^{2} - i^{2} \cdot y^{2}} \cdot \sqrt{a^{2} - i^{2} \cdot b^{2}} = \sqrt{x^{2} a^{2} - x^{2} i^{2} b^{2} - y^{2} i^{2} a^{2} + i^{2} i^{2} y^{2} b^{2}}

= \sqrt{x^{2} a^{2} + x^{2} b^{2} + y^{2} a^{2} + y^{2} b^{2}} = \sqrt{(x^{2} + y^{2}) \cdot (a^{2} + b^{2})}

= | z \cdot w |

Stimmt das so?

Kaloffi aktiv_icon

14:44 Uhr, 14.08.2018

Das

i^{2}

einzufügen nur um es dann wieder raus zu kürzen war wohl etwas unnötig.

ermanus aktiv_icon

14:48 Uhr, 14.08.2018

Nein. So funktioniert das nicht.
Die künstliche Einführung von

- i^{2}

nützt dir nichts, macht alles nur
immer komplizierter. Ah,sehe gerade, dass du das bereits selbst erkannt hast :-)
Du solltest

∣ z \cdot w ∣

explizit ausrechnen ...
Übrigens kannst du dir viel Arbeit sparen, wenn du alles quadrierst.
Die Wurzeln sind ja nur lästig.
Also

(x^{2} + y^{2}) (a^{2} + b^{2}) = ∣ z \cdot w ∣^{2} ?

.
Das ist jetzt das "Problem".

ledum aktiv_icon

14:48 Uhr, 14.08.2018

Hallo
du musst doch irgendwo mal

z \cdot w

also (x+iy)*(a+ib) ausrechnen und davon den Betrag, das tust du nirgends.
Wenn du allerdings

z = r_{1} \cdot e^{i φ_{1}}

und

w = r_{2} \cdot e^{i φ_{2}}

schreibst ist die Rechnung nur eine halbe Zeile.
Gruß ledum

anonymous

15:52 Uhr, 14.08.2018

Genau deshalb bedient man sich ja mit Vorteil der Eulerdarstellung .

z_{1} := r_{1} e^{i φ_{1}} : : : : : : : (1 a)

z_{2} := r_{2} e^{i φ_{2}} : : : : : : : (1 b)

Dann folgt

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} e^{i (φ_{1} + φ_{2})} : : : : : : (2)

Zwei komplexe Zahlen multipliziert man, indem man ihre Beträge MULTIPLIZIERT und die Phasen ADDIERT . Für die Phasen gilt das logaritmische Rechengesetz

- - \to

komplexe Logaritmusfunktion .

anonymous

16:15 Uhr, 14.08.2018

Ach erzähl ich's doch . Ich stieß mal auf ein Matheportal, das sich zum Ziel gesetzt hatte, Witze über Matematik zu erzählen. Nur zwei finde ich wirklich erwähnenswert; der absolute Brüller war der Beweis mit vollständiger Induktion, dass alle natürlichen Zahlen gleich sind ( Passt leider nicht zum Tema; es sei denn, es besteht der Wunsch. )
Wir wollen heute beweisen; Die e-Funktion ist identisch konstant . Wer ist hier gut in Quantorenlogik? Der Beweis beginnt nämlich mit einer sehr formalen Aussage .

\forall x

€

ℝ \exists y = y (x) | x = 2 π y : : : : : : : (2.1)

Wer Schwierigkeiten haben sollte, das zu lesen: Zu jedem reellen

x

gibt es ein geeignetes

y,

so dass Formel

(2.1)

mit diesem

π

gilt .
( Wer widerspricht da? )

e^{i x} = e^{2 π i y} = : : : : : : : (2.2 a)

= {[e^{2 π i}]}^{y} = 1^{y} = 1 =

ident const

: : : : : (2.2 b)

HABICHDOCHGESAGTHABICHDOCHGESAGTHABICHDOCHGESAGT

. .

ermanus aktiv_icon

16:21 Uhr, 14.08.2018

Ich möchte zu bedenken geben, dass kurz nach Einführung
der komplexen Zahlen die Theorie der analytisch gegebenen
Funktionen

\exp

\sin

und

\cos

in den meisten Fällen
noch gar nicht zur Verfügung steht. Wie schön einfach das mit Euler auch ist,
könnte es sein, dass dies hier gar kein angesagter Weg ist.
Zudem ist der algebraische Aspekt der Multiplikativität
der Normform bei einer quadratischen Körpererweiterung durchaus
auch ein Gewinn.

Also lieber Student, wenn du das mit der Polardarstellung (Euler)
nicht kennst, mach dir nichts draus und rechne algebraisch ...

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1436133

1436111

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?