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Komplexe Zahlen: Mengen skizzieren

Schüler Gymnasium,

Tags: Gleichungen, Komplexe Zahlen, Mengenlehre

Shinoda aktiv_icon

21:40 Uhr, 19.11.2012

Hallo, ich soll die Menge komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene bestimmen. Leider komme ich da nicht so recht weiter.

{z

∈

C : | z | > 1

− Re

z},

{z

∈

C :

(z + 2)

≥ Im

z}

{z

∈

C : | z |

≤

1, | z - \frac{1}{2} | \geq \frac{1}{2}}

Ich habe es für die erste schonmal probiert.

| z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} > 1 - x

Eigentlich müsste ich beim quadrieren dann doch eine Fallunterscheidung machen, oder? Ein Kollege meint dagegen man müsse es nicht tun.

x^{2} + y^{2} > {(1 - x)}^{2}

x^{2} + y^{2} > 1 - 2 x + x^{2}

y^{2} > 1 - 2 x

y > \sqrt{1 - 2 x}

Und jetzt? Ich kann mir da echt nix drunter vorstellen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

rundblick aktiv_icon

22:05 Uhr, 19.11.2012

nun, die Punkte

z = (x; y)

in der GaussEbene, für die gilt:

y^{2} = 1 - 2 x

liegen auf einer Parabel, die du doch sicher einzeichnen kannst?

und

y^{2} > 1 - 2 x

sind dann in der GaussEbene alle Punkte ausserhalb dieser Parabel
(du kannst diesen Teil der Ebene ja einfärben...)

versuchs mal...

Shinoda aktiv_icon

22:21 Uhr, 19.11.2012

Ich bin jetzt ein bischen verwirrt wegen dem

y^{2}

.

Ich bekomm eine Parabel, die oberhalb und unterhalb der

x

Achse liegt und nach

x \to - \infty

geöffnet ist? Ist die denn für negative

y

Werte definiert? Oder ist das eine Gerade? Ich bin auch zusätzlich irritiert, weil in anderen Foren nach

x

aufgelöst wird.

Und bei der zweiten Menge, was bedeutet Re

(z + 2)

genau?

x + 2

oder?

rundblick aktiv_icon

22:30 Uhr, 19.11.2012

y^{2} = 1 - 2 x

"Ich bekomm eine Parabel, die oberhalb und unterhalb der

x

Achse liegt
und nach x→−∞ geöffnet ist? "

\to

GENAU SO IST ES

. .

. und ihr Scheitelpunkt ist

(\frac{1}{2}; 0);

Def-Bereich ist

x \leq \frac{1}{2}

Ist die denn für negative

y

Werte definiert?

\to

SICHER .. denn du hast ja

y^{2} ... .

\to y = \pm \sqrt{1 - 2 x}

ok?

"Und bei der zweiten Menge, was bedeutet Re

(z + 2)

genau?

x + 2

oder?"

. . \to

Shinoda aktiv_icon

22:39 Uhr, 19.11.2012

Und bei der dritten bekomm ich einmal

y^{2} \leq 1 - x^{2}

und

y^{2} \geq 1 - x^{2}

heraus.
Bedeutet dies, dass quasi alle Zahlen in der Menge enthalten sind?

Wie muss ich das

y^{2}

eigentlich jetzt verstehen?

rundblick aktiv_icon

22:50 Uhr, 19.11.2012

jetzt bist du auf der falschen Spur..

| z | = 1

bedeutet: alle Zahlen

z,

die vom Ursprung die Entfernung 1 haben

(\to

"Einheitskreis"

x^{2} + y^{2} = 1)

und

| z | < 1

sind dann alle Punkte im Innern dieses Kreises

entsprechend sind die

z

mit

| z - \frac{1}{2} | = \frac{1}{2}

auf den Kreis um Mittelpunkt

(\frac{1}{2}; 0)

und Radius

r = \frac{1}{2}

also

: {(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}

die

z

mit

| z - \frac{1}{2} | > \frac{1}{2}

sind ausserhalb des Kreises

welches ist dann die "Schnittmenge" , die du darstellen ("anmalen") sollst?

\to .

. ?

Shinoda aktiv_icon

22:59 Uhr, 19.11.2012

Das wär dann der außere Kreis - den inneren Kreis. Aber woraus leitet man jetzt die Verschiebung des Mittelpunktes des Kreises ab? Von dem

\frac{1}{2}

im Betrag oder dem

\frac{1}{2}

auf der rechten Seite?

rundblick aktiv_icon

23:10 Uhr, 19.11.2012

| z - \frac{1}{2} | = \frac{1}{2} ... ... ... . . \Leftrightarrow ... ... ... .

{(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}

Beträge sind immer Abstände

\to

das

\frac{1}{2}

rechts ist also der Radius

das

\frac{1}{2}

im Betrag gibt die Verschiebung des Mittelpunktes aus

(0; 0) \to (\frac{1}{2}; 0)

.. es ist

z - \frac{1}{2} = (x - \frac{1}{2}) + i \cdot (y - 0) . .

.

ok?

Shinoda aktiv_icon

23:17 Uhr, 19.11.2012

Jetzt müsste ich es verstanden habe.

Ich danke dir jedenfalls für die ausgezeichnete Hilfe! :-)

mathelernen12 aktiv_icon

19:30 Uhr, 20.12.2012

geh mal auf www.wi-tutorials.de, da habe ich Tutorials zu komplexen zahlen eingestellt.

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