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Komplexe Zahlen, Ungleichung lösen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Gausssche Zahlenebene, Komplexe Analysis, Kurve, Ungleichung

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10:32 Uhr, 26.11.2020

Guten Morgen,
ich habe noch eine weitere Frage zum Thema komplexe Ungleichungen.
Die Aufgabe lautet:

|Im(z)+Re(i^2*2)+i*Im(i*(z-3))|<=2 und 3-Re(zkonjugiert)<0

(Ich weiß leider nicht, wie man mit der Tastatur

z

konjugiert eingibt)

Jetzt soll ich in Aufgabenteil a alle Lösungen, welche die Ungleichungen erfüllen, bestimmen und die Lösungsmenge angeben.
In Aufgabe

b

soll ich dann die Lösungsmenge skizzieren.

Ich habe angefangen und versucht, die einzelnen Komponenten der 1. Ungleichung zu vereinfachen, jedoch komme ich da auf ein sehr komisches Ergebnis, in dem keine Variablen mehr vorhanden sind (siehe Foto). Außerdem weiß ich nicht so ganz, wie und wann ich die Betragsstriche auflösen kann. Kann ich erst die Einzelteile vereinfachen und dann den Betrag auflösen oder muss ich zuerst den Betrag auflösen und dann vereinfachen?
Könnte mir vielleicht jemand den Lösungsweg verraten? Ich freue mich immer über ganze Lösungswege mit Lösung, damit ich das auch nachvollziehen kann. Das wäre echt super!!
Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Respon

10:38 Uhr, 26.11.2020

Fehler schon ganz oben.

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10:41 Uhr, 26.11.2020

Oh, hast Recht!
Habs verbessert und komme jetzt auf:

| - a + b + 1 | \leq 2

Stimmt das so? Und wie macht man jetzt weiter?

Respon

10:45 Uhr, 26.11.2020

Und schau dir diese Zeile an.

Atlantik aktiv_icon

10:45 Uhr, 26.11.2020

"(Ich weiß leider nicht, wie man mit der Tastatur

z

konjugiert eingibt)"

So:

\bar{z}

mfG

Atlantik

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10:48 Uhr, 26.11.2020

Kommt da dann ai-3i raus? Weil der Imaginärteil das a und die

- 3

sind und ich das dann noch mal

i

nehmen muss?

Respon

10:50 Uhr, 26.11.2020

i \cdot (a - 3)

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10:53 Uhr, 26.11.2020

Okay Dankeschön! Und wie löst man jetzt den Betrag auf? Dann habe ich ja jetzt

| b - 2 + i (a - 3) | \leq 2

Respon

10:56 Uhr, 26.11.2020

Bilde den Betrag von

(b - 2) + i \cdot (a - 3)

| x + i \cdot y | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

\Rightarrow . .

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11:14 Uhr, 26.11.2020

Okay, alles klar!
dann habe ich jetzt

{\sqrt{b - 2}}^{2} + {(a - 3)}^{2} \leq 2

. (alles unter der Wurzel)
Jetzt würde ich das quadrieren zu

{(b - 2)}^{2} + {(a - 3)}^{2} \leq 2^{2}

Das entspricht ja einer Kreisgleichung mit dem Radius 2 und dem Mittelpunkt

(2,3)

. Richtig?

Die zweite Ungleichung war ja 3-Re(

\bar{z}),

der Realteil ist doch da aber nur das

a,

so dass ich als Lösung

3 - a

bekomme und es keinen Unterschied macht , ob ich

z

oder

\bar{z}

in der Klammer stehen habe, oder irre ich mich da schon wieder?

Respon

11:24 Uhr, 26.11.2020

"Das entspricht ja einer Kreisgleichung mit dem Radius 2 und dem Mittelpunkt

(2,3)

. Richtig?"
Nicht ganz - wir haben es hier mit einer Ungleichung zu tun.
Geometrisch interpretiert wäre es die Kreisscheibe einschließlich der Kreislinie.

. .

. und jetzt die zweite Ungleichung dazu.

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11:30 Uhr, 26.11.2020

Die 2. Ungleichung wäre dann

3 < a

was genau sagt mir dies nun?

Respon

11:33 Uhr, 26.11.2020

Du hast jetzt zwei Ungleichungen mit a und

b

.
Bestimme nun die Bereiche für a und

b

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11:41 Uhr, 26.11.2020

Ich habe jetzt jeweils a und

b = 0

gesetzt und so die Gleichung einmal nach a und nach

b

aufgelöst, richtig?
Dann erhalte ich für a den Lösungsbereich

(1,5)

und für

b (0,4)

und aus der zweiten Ungleichung ja noch

a < 3

was genau sagt mir das jetzt?

Respon

11:57 Uhr, 26.11.2020

. .

. und

a > 3

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12:01 Uhr, 26.11.2020

Ich weiß gerade überhaupt nicht mehr, wie es weitergeht und vor Allem wie man dann die Bereiche rausbekommt und skizzieren kann. Ich habe ja den Kreis mit dem Radius und dem Mittelpunkt.. aber was gehört jetzt zu dem Bereichen der Ungleichungen und was nicht? Könntest du mir das einmal vielleicht erklären mit den einzelnen Schritten und der Lösung?:/ ich komme überhaupt nicht mehr weiter..

Respon

12:06 Uhr, 26.11.2020

Wir haben:

{(a - 3)}^{2} + {(b - 2)}^{2} \leq 2^{2}

a > 3

Überlege, warum daraus folgt

: 3 < a \leq 5

.

Der Rest ist dann eine Umformung der Kreisungleichung.
Bestimme den Bereich von

b

in Abhängigkeit von

a

{(a - 3)}^{2} + {(b - 2)}^{2} \leq 4

{(b - 2)}^{2} \leq 4 - {(a - 3)}^{2}

- \sqrt{4 - {(a - 3)}^{2}} \leq b - 2 \leq \sqrt{4 - {(a - 3)}^{2}}

2 - \sqrt{4 - {(a - 3)}^{2}} \leq b \leq 2 + \sqrt{4 - {(a - 3)}^{2}}

Lösungsmenge also

3 < a \leq 5

2 - \sqrt{4 - {(a - 3)}^{2}} \leq b \leq 2 + \sqrt{4 - {(a - 3)}^{2}}

Für

a = 5 \Rightarrow b = 2

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