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Komplexe Zahlen in kartesischer Form berechnen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Imaginäre Zahlen, Kartesische Form, Komplexe Zahlen, Real- und Imaginärteil bestimmen

Hobinator aktiv_icon

16:39 Uhr, 05.02.2019

Hey,

ich habe überhaupt keine Ahnung so richtig von komplexen Zahlen und soll nun die in den Bildern stehenden Aufgaben lösen. Ich weiß wie so ne komplexe Zahl aufgebaut ist mit
z=Realteil+Imaginärteil*i bzw. auch wie die trigonometrische Form und die Exponentialform aussieht, aber diese Aufgaben sind ja alle nicht in dieser Schreibweise, somit weiß ich null wie ich damit rechnen soll. Die Aufgabe a habe ich wie es unten in dem Bild ist mal probiert aber da komm ich ja auch nicht auf die Form

z = a + b \cdot i

?

Könnte mir jemand mal erklären wie man die einzelnen Aufgaben löst und hätte dann zur Kontrolle eine Lösung dafür?

Danke schon mal im vorraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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16:46 Uhr, 05.02.2019

Leider lädt das Bild von meinem Lösungsversuch für die a irgendwie nicht hoch.

ledum aktiv_icon

22:31 Uhr, 05.02.2019

Hallo

a)

wie immer bei Brüchen mit dem konjugierten des Nenners erweitern , dann hat man unten das Betragsquadrat hier

3^{1} + 1 = 10

oben ausrechnen , dann einfach real und imag Teil addieren.

b)

muss man rechnen, a entweder Binom für hoch 3 kennen oder quadrieren das Ergebnis noch mal gibt hoch 4 mal dem Quadrat,

c)

a)wissen dass

e^{k \cdot 2 π \cdot i} = 1

für

k

aus

ℤ,

dann e^(30°*i)=(cos(30°)+isin(30°)) und sin und

cos

von

30

° sollte man auswendig wissen, oder schnell am halben gleichseitigen Dreieck ablesen können, dann nur noch mit

2,5

multiplizieren.
Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

23:17 Uhr, 05.02.2019

.
"b) muss man rechnen .."

\to

na klar - was sonst ?

. .

. aber so

\to

1 - i \cdot \sqrt{3}

zuerst in Polarform

\to 2 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i) = 2 \cdot e^{\frac{5 π}{3} \cdot i}

\to

also dann

\to {[2 \cdot e^{\frac{5 π}{3} \cdot i}]}^{6} = .

. dürfte kein Problem sein ..

\to

und davon besonders problemlos wieder die Normalform ..
fertig.

ok?

und noch kurz zu

a) :

" dann einfach real und imag Teil addieren."
ja , wirklich ein fach , weil "real" hier eh sichtlich nullt ..
.

Hobinator aktiv_icon

10:00 Uhr, 06.02.2019

Wäre dann bei der

a)

das Ergebnis so?

Hobinator aktiv_icon

10:05 Uhr, 06.02.2019

Bei der

b)

konnte ich nachfolziehen das man die 2 ausklammert und dann schreibt

2 \cdot e

aber wie komme ich auf das was dann bei

e

im exponenten steht?

Klugscheisser aktiv_icon

11:18 Uhr, 06.02.2019

Achtung: du darfst eine Konjugiert komplexe Zahl nicht einfach mit

- 1

Multiplizieren, also das Vorzeichen ändern. Die würde dann um 180° drehen.

\frac{1}{10} - 6 i

ist das Ergebnis!

Klugscheisser aktiv_icon

11:30 Uhr, 06.02.2019

...falsch gerechnet. Es kommt nach meiner Rechnung raus:

2 i - \frac{3 - i - 9 i - 3}{10} = 2 i - 10 \frac{i}{10} = i

Klugscheisser aktiv_icon

11:32 Uhr, 06.02.2019

Gute Erklärung für wechsel zwischen kartesischer, Polarform und Exponentialform (Eulersche Formel) schau dir dieses Video an: www.youtube.com/watch?v=CwxhwTRv65Y

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13:18 Uhr, 06.02.2019

Danke erstmal allen für ihre Mithilfe.

Aber nur die Zahl

i

ist doch keine komplexe Zahl in kartesischer Form oder?

Roman-22

13:53 Uhr, 06.02.2019

>

Aber nur die Zahl

i

ist doch keine komplexe Zahl in kartesischer Form oder?
Doch! Und das Ergebnis ist richtig für

a)

Oder würde dir die Darstellung

0 + 1 \cdot i

besser gefallen?

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14:05 Uhr, 06.02.2019

Ok dann weiß ich jetzt wie man die a löst, danke :-)

Aber wie komme ich bei

b

auf

e^{5} \frac{Π}{3}

Roman-22

15:12 Uhr, 06.02.2019

Stell dir die Zahl

z = 1 - \sqrt{3} i

doch einfach als Zeiger in der Gaußebene vor und überlege dir, wie groß das Argment ("der Winkel") ist.
Oder arbeite stur mit der Formel. Was

a r c t a n (\sqrt{3})

ist sollte man auswendig wissen und damit weiß man doch auch, was

a r c t a n (- \sqrt{3})

ist.
Im Übrigen ist

z = 1 - \sqrt{3} i = 2 \cdot e^{- \frac{π}{3} i}

genau so richtig ;-)

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18:00 Uhr, 06.02.2019

Jetzt konnte ich endlich nachvollziehen nach dem ich mir das mit dem Kosinus reingezogen habe wie man auf die

\frac{Π}{3}

kommt. Nun weiß ich aber leider wirklich nicht wenn ich jetzt

2 \cdot \frac{e^{π}}{3} \cdot i

habe was ich jetzt eigentlich weiter machen soll. Weil wenn ich das jetzt alles hoch 6 rechne kann ich danach doch wieder die 6 wurzel ziehen und alles ist wie vorher und ich soll das ja eigentlich in der Form wie es vorher war berechnen. Ich bin überfragt was ich jetzt machen soll und wie das Endergebnis lauten soll...

Roman-22

22:40 Uhr, 06.02.2019

Du hast das Vorzeichen falsch!

es muss

2 \cdot e^{- \frac{π}{3} i}

lauten oder aber wie bei rundblick

2 \cdot e^{\frac{5 π}{3} i}

Und wenn du hier brav Klammern setzt, dass wird das auch was mit dem korrekten Formelsatz.

>

Weil wenn ich das jetzt alles hoch 6 rechne kann ich danach doch wieder die 6 wurzel ziehen und alles ist wie vorher
Ja, aber warum solltest du die sechste Wurzel ziehen?
Du sollst

z^{6}

berechnen und das Ergebnis in kartesischer Form angeben.

Also was ist nun

{[2 \cdot e^{- \frac{π}{3} i}]}^{6}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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