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Komplexe zahl mit reele zahl multiplizieren?

Schüler Gesamtschule, 9. Klassenstufe

Tags: Aufgbabe, Komplexe Zahlen, Multiplikation

Tamburin442 aktiv_icon

19:49 Uhr, 14.05.2015

Hallo ich möchte mir einpaar grundlagen zu den komplexen zahlen aneignen und finde das relativ einfach ( und überhaupt nicht komplex) bis jetzt...

Ich kenne die gängigsten regeln, aber nirgends wird mir erklärt wie ich eine komplexe zahl mit einer reelen zahl multipliziere.

Zum beispiel in meinem fall,

z_{1} = - \sqrt{3} + i

muss ich mit 2 multiplizieren

kommt da jetzt heraus

: z = - 2 \sqrt{3} + 2 \cdot i

???

danach mit

z_{2} = - 2 + 2 \sqrt{3} \cdot i

subtrahieren

also

z_{3} = 2 \cdot z_{1} - z_{2}

dann hab ich heraus:

z_{3} = - 2 \sqrt{3} + 2 + i \cdot 2 - 2 \sqrt{3}

ich find die zahl sieht leider sehr ungerade aus, deswegen denke ich hab ich etwas falsch gemacht...

und wenn ich eine komplexe zahl mit einer reelen zahl dividiere , steht auch nirgends drin wie man das dann macht.

Bei addition und Subtraktion von einer komplexen zahl mit einer reelen zahl ist das einfach, da verrechne ich nur die realteil und den imaginärteil lass ich einfach so.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Multiplikation und Division von Brüchen

Atlantik aktiv_icon

19:55 Uhr, 14.05.2015

Hier findest du Regeln:

http//www.mathebibel.de/komplexe-zahlen

mfG

Atlantik

Tamburin442 aktiv_icon

20:08 Uhr, 14.05.2015

das hab ich schon alles gesehen.

ABER ich will meine komplexe zahl mit einer REELEN ZAHL multiplizieren. Und das steht da nicht!!!!

pleindespoir aktiv_icon

20:25 Uhr, 14.05.2015

Eine relle Zahl ist übrigens auch eine komplexe Zahl!
Nur ist der Imaginärteil Null.
also :

c = r \cdot (a + i \cdot b)

c = (r + i \cdot 0) \cdot (a + i \cdot b)

Tamburin442 aktiv_icon

20:52 Uhr, 14.05.2015

also ist mein ergebnis doch richtig, hab ic gerade nachgerechnet mit dem tipp von pleindespoir.

wenn

: a \cdot (x + y \cdot i)

dann gilt

: a \cdot x + a \cdot y \cdot i,

ganz einfach ausmultiplizieren.

pleindespoir aktiv_icon

21:03 Uhr, 14.05.2015

sobald man mit komplexen Zahlen die Addition verlässt, eignet sich die Polardarstellung wesentlich besser:

a + i b = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot e^{i \tan (\frac{b}{a})}

Multiplikation:

a \cdot e^{i α} \cdot b \cdot e^{i β} = a b \cdot e^{i (α + β)}

bei einer reellen Zahl gilt der Winkel im Exponenten gleich Null, also:

r \cdot e^{i \cdot 0} \cdot b \cdot e^{i β} = r b \cdot e^{i (0 + β)}

Roman-22

21:45 Uhr, 14.05.2015

" Ich find die zahl sieht leider sehr ungerade aus, deswegen denke ich hab ich etwas falsch gemacht... "
Was ist denn falsch an "ungeraden" Zahlen? Jedenfalls hast du, soweit du beschrieben hast, was du rechnen möchtest, richtig gerechnet.

" und wenn ich eine komplexe zahl mit einer reelen zahl dividiere , steht auch nirgends drin wie man das dann macht. "
Du kannst beim Rechnen mit komplexen Zahlen in der Komponentendarstellung grundsätzlich alles "normal" rechnen, so als wäre die Imaginäre Einheit

i

eine Variable. Wenns dann um die Potenzen von

i

geht musst du dann eben beachten, dass

i^{2} = - 1

gilt. Ergebnisse sind in der Regel nach Real- und Imaginärteil gesammelt und getrennt anzugeben (bei dir fehlt da zum Schluss eine Klammer um den Imaginärteil.

Also zu deiner Frage mit der Division durch eine reelle Zahl:

\frac{a + b \cdot i}{r} = \frac{a}{r} + \frac{b}{r} \cdot i

.

Wirklich ein wenig aus der Art geschlagen ist beim Rechnen mit komplexen Zahlen in Komponentendarstellung nur die Division durch eine nichtreelle Zahl.

Spätestens wenn du die zehnte Potenz eine komplexen Zahl berechnen sollst oder gar den Logarithmus einer komplexen Zahl, wird es Zeit, sich andere Darstellungen und das Rechnen in denselben genauer anzusehen. Während

{(3 - 4 i)}^{10}

zur Not und mit viel Aufwand noch in Komponentenform (Binomialkoeffizienten, Pascal'sches Dreieck oder stur fortwährendes Multiplizieren) bewerkstelligt werden kann, muss man zB für

ln (3 - 4 j)

auf die Exponentialdarstellung zurück greifen.

Atlantik aktiv_icon

21:51 Uhr, 14.05.2015

Schau mal genau hin unter "Komplexe Zahlen multiplizieren" , da findest du was du gesucht hast!!!

mfG

Atlantik

Tamburin442 aktiv_icon

22:07 Uhr, 14.05.2015

@ pleindespoir

ja das kenne ich schon, aber ich meine wenn ich in diesem Fall

2 \cdot z_{1}

habe dann kann ich das auch direkt ausrechnen, da brauch ich nichts extra die euler'sche form oder die trigonometrische form, das geht auch so direkt.

Erst wenn ich zwei komplexe zahlen habe DANN greife ich für multiplikation und division auf die euler'sche oder trigonometrische form zurück.

also ich habe heraus

z_{3} = 2 - 2 \sqrt{3} + (2 - 2 \sqrt{3}) \cdot i

Realteil und imaginärteil sind gleich, gibt es denn in diesem fall da eine regel um diese zusammenzufassen ? Oder einfach so stehen lassen??

Roman-22

22:15 Uhr, 14.05.2015

" Realteil und imaginärteil sind gleich, gibt es denn in diesem fall da eine regel um diese zusammenzufassen ? Oder einfach so stehen lassen?? "

Kommt darauf an, was du mit dem Ergebnis noch vor hast.
Natürlich kannst du ausklammern und

(2 - \sqrt{3}) \cdot (1 + i)

schreiben.

Tamburin442 aktiv_icon

22:29 Uhr, 14.05.2015

Nö ich hab damit nichts mehr vor.

Also kann ich das so stehen lassen.

Danke @ all bis dann :-)

Tamburin442 aktiv_icon

23:09 Uhr, 14.05.2015

thanks for everything, for the tipps, the supporting,

i

love you :-)

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