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Komplexe zahlen injektiv/surjektiv/bijektiv

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

simplyme aktiv_icon

18:17 Uhr, 15.12.2016

Hallo
Ich hab eine Frage zu einer Aufgabe.
Ich habe eine Abbildung gegeben.

f_{1} : ℂ \to {x \in ℝ | x \geq - 1} : z \mapsto z \cdot \bar{z} - 1

die ich auf injektivität und Surjektivität prüfen soll.
Kann mir da jemand helfen. Ich habe Schwierigkeiten mir das mit komplexen Zahlen vorzustellen.
Für jegliche Hilfe wäre ich euch sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HilbertRaum aktiv_icon

18:41 Uhr, 15.12.2016

Nehmen wir mal Injektivität:
Das Bild von f ist grad das Quadrat des Betrages des Urbildes -1. Für Injektivität müsste aus der Gleichheit zweier Bilder die Gleichheit der Urbilder folgen.
Nun findest du aber viele Urbilder mit dem gleichen Betrag, nämlich jene entlang konzentrischer Kreise um (0,0)...

simplyme aktiv_icon

18:53 Uhr, 15.12.2016

Was meinen sie mit Quadrat des Betrages des Urbildes

- 1

? Meinen Sie jetzt

{| - 1 |}^{2}

. und warum ist

- 1

das Urbild?

ledum aktiv_icon

23:41 Uhr, 15.12.2016

Hallo

z \cdot \bar{z} = {| z |}^{2}

z

wird also auf seinen Betrag

- 1

abgebildet. alle

z

mit demselben Quadrat auf eine reelle Zahl.
Gruß ledum

HilbertRaum aktiv_icon

08:59 Uhr, 16.12.2016

simplyme, in deine Aufgabe kann man sich die Abbildung gut vorstellen.

Betrachte die kompl. Ebene, und stelle dir darin Kreise um (0,0) vor. Alle Punkte auf dem Kreisrand sind verschiedene komplexe Zahlen, die aber einen gemeinsamen Betrag haben. Nehmen wir z=x+iy auf dem Kreisrand, dann ist

r^{2} = ∣ z ∣^{2} = x^{2} + y^{2} = z \overline{z}

.
Alle kompl. Z. auf dem Kreisrand haben den Betrag r. Da f gerade definiert ist als

f (z) = z \overline{z} - 1 = r^{2} - 1

bedeutet das, dass ALLE kompl. Z. auf dem Kreisrand auf die gleiche reelle Zahl

r^{2} - 1

abgebildet werden. Damit kann f schon mal nicht injektiv sein, denn wenn für 2 Bilder Gleichheit gilt, müsste das auch für die Urbilder gelten, was aber eben nicht der Fall ist.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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