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Komposition vertauschbar für alle Endomorphismen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

 
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sabsi

sabsi

11:34 Uhr, 03.12.2024

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Hey,

Ich soll folgendes zeigen:

Sei V ein endlicher K-Vektorraum und F ein ENdomorphismus von V. Zeigen Sie, dass F genau dann ein skalares Vielfaches der Identität ist, wenn FG=GF für alle ENdomorphismen G von V ist.

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Genau dann, bedeutet ja ich muss es in beide Richtungen zeigen.

Wobei eine relativ leicht sein sollte:

Sei F=αid

FG=αidG=Gidα=GF

aber die andere Richtung ist mir grad nicht ganz klar. Hoffe jemand kann mir hier auf die Sprünge helfen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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michaL

michaL aktiv_icon

13:41 Uhr, 03.12.2024

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Hallo,

ja, du musst auch zeigen:
Wenn F und G vertauschen, so ist F ein skalares Vielfaches der Identität.

In Mathematik: FG=GF (für alle G) F=αid

Das muss man aber nicht unbedingt direkt machen.
Du könntest auch Kontraposition verwenden, dann wäre
Fαid es gibt G mit FGGF zu zeigen.

Ich würde es wohl damit versuchen. Dazu könnte der Basisauswahlsatz nützlich sein. Zudem wäre es toll, wenn man auf die Tatsache zurückgreifen könnte, dass ein VR-Homomorphismus durch die Angabe der Bilder einer Basis eindeutig festgelegt ist.

Reicht das als Hilfe schon?

Mfg Michael
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