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Komposition von funktionen

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Tags: Komposition

 
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lars174

lars174 aktiv_icon

19:09 Uhr, 26.11.2016

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Hallo die Angabe ist im Bild .

Es gibt so weit ich weiß mehrere Möglichkeiten um zu zeigen das eine funktion bijektiv ist :
1) Die gegebene funktion f :A->A habe eine umkehrfunktion g :A->A sodass fog=idA und gof=idA
2) f ist injektiv und surjektiv

jedoch fällt mir der ansatz hier nicht so ganz ein .
ich kenne den Satz über die assoziativität von Kompositionen sodass
fo(gof)=(fog)of ist .

kann mir jemand helfen?

1

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ermanus

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19:23 Uhr, 26.11.2016

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Hallo,
denke mal über folgende (vermutlich bekannte) Aussage nach:
r∘s=id⇒r ist surjektiv und s ist injektiv.
Gruß ermanus
lars174

lars174 aktiv_icon

21:11 Uhr, 26.11.2016

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Hallo danke erstmals ! ich sehe ros = r(s(x))= id
dann ist r injektiv und s(x)) injektiv ." das äusere ist injektiv das innere surjektiv "

dann ist das bei mir : idA=fogof= fo(gof) => wegen assoziativität = (fog)of
also f injektiv und fog surjektiv .

anderenfalls ist idA= fogof= fo(fog)=> gof ist injektiv und f surjektiv

also ist f injektiv und surjektiv , also f bijektiv .

ist das richtig ?

und zu b )
zeige g ist bijektiv .
ich habe aus a) die informationen gof injektiv und fog surjektiv
wie kann ich diese am besten benutzen um zu zeigen dass g bijektiv ist ?
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ermanus

ermanus aktiv_icon

21:56 Uhr, 26.11.2016

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Ja, so habe ich es gemeint.
Nun weißt Du, dass f bijektiv ist, also f-1 existiert.
Dann kannst Du das doch von links und von rechts auf Deine
Gleichung loslassen:
g=f-1∘f∘g∘f∘f-1=f-1∘id∘f-1=f-1∘f-1.
g ist also das Produkt zweier Bijektionen, also selbst eine Bijektion.
lars174

lars174 aktiv_icon

22:20 Uhr, 26.11.2016

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Okay super dann hat sich a) mal erledigt .
und zu b) ich kann deinen Beweis nachvollziehen aber darf ihn warscheinlich nicht verwenden weil sowas wie komposition von 2 bijektionen ist wieder eine bijektion hatte wir noch nicht .

geht das auch auf eine einfachere weise ?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:38 Uhr, 26.11.2016

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Wieso, das ist doch trivial:
(f∘f)∘(f-1∘f-1)=f∘(f∘f-1)∘f-1=f∘id∘f-1=id,
und ebenso umgekehrt (f-1∘f-1)∘(f∘f)=id.
Also hat f-1∘f-1 eine Umkehrabbildung, nämlich f∘f,
ist also bijektiv.
Frage beantwortet
lars174

lars174 aktiv_icon

12:09 Uhr, 27.11.2016

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Alles klar danke dir !