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Kongruenzabbildungen
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
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Ein Doppeltetraeder entsteht aus zwei kongruenten Tetraedern, die an einer Seite zusammengeklebt werden. Insbesondere ist ein Körper im Raum mit sechs Seitenflächen und fünf Ecken. Wie viele Kongruenzabbildungen → gibt es? Ist die Gruppe aller Kongruenzabbildungen → kommutativ? Begründen Sie Ihre Angaben Ich hab kein Plan kann mir wer helfen Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo es ist nicht fair gegenüber Helfenden, in mehreren Foren Kopien einer Frage zu posten, ohne das zu sagen. www.mathelounge.de/1053898/doppeltetraeder-kongruenzabbildungen-anzahl ledum |
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Hallo, ich habe zunächst eine geoGebra-Zeichnung erstellt, auf die ich mich beziehe. Die Gruppe müsste meines Erachtens erzeugt werden von * einerseits der Drehung um 120° um die -Achse (blau), für die gilt und für die und Fixpunkte sind (Ich nenne diese Abbildung .), * und andererseits von derjenigen Abbildung, die um die -Achse (rot) um 180° rotiert. Dort ist ein Fixpunkt. Desweiteren gelten dort: und . (Möchte ich gern nennen.) Aufgrund der Tatsache, dass diese Elemente die Gruppe erzeugen, müsste die Anzahl der Elemente eben 6 betragen. (Ähnlich zur Diedergruppe .) Was ich gefunden habe: Die Drehung , die festlässt (zur Unterscheidung mal genannt), hat zwei Geschwister: eine vergleichbare Drehung, die festlässt (also ) und eine, die festlässt (also ). Es gilt: , Ebenfalls gilt: , d.h. man erhält Damit erhält man die Elemente . Denn: * Multipliziert man vor (also rechts an) die ersten drei Elemente, so erhält man die hinteren drei (wenn auch nicht ganz in der Reihenfolge). Multipliziert man hinter (also links an) die letzten drei, so erhält man ebenfalls die letzten drei Elemente, ebenfalls in anderer Reihenfolge. Reicht das als Information? Mfg Michael  |
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@michaL Die von dir beschriebenen 6 Abbildungen kann man alle durch Drehungen erreichen. Aber kommen dann nicht nochmal 6 weitere hinzu durch Spiegelung? P.S.: Ich versteh leider nicht viel von der Thematik (Gruppen und deren Dekomposition u.ä. Zeug), sonst würde ich das wohl sauberer ausführen. Mein Zugang ist eher intuitiv. ;-) |
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Hallo, ja, stellt sich die Frage, ob die Abbildung mit Fixpunkten , und und auch zu den Abbildungen gehört (denke: ja) und ob sie erzeugt werden kann (könnte sein, dass nicht). Dann hättest du recht und wir hätten vermutlich noch weitere Abbildungen (vermutlich weitere 6). Mfg Michael |
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Wie kommt man auf die Zahlen |
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Nun klar ist, dass die drei Eckpunkte des gemeinsamen Dreiecks in der "Klebeschicht" nur auf sich selbst abgebildet werden können, natürlich bijektiv. Das wäre schon mal die symmetrische Gruppe . Genauso kann man die beiden verbleibenden Tetraederspitzen bijektiv auf sich selbst abbilden, das wäre dann nochmal . Beides kann m.E. unabhängig voneinander erfolgen, so dass wir de fakto bekommen. So würde ich es mit meinen rudimentären Kenntnissen der Algebra-Notation beschreiben wollen, die Experten dürfen mich gern berichtigen. Ergibt als Gruppenordnung dann offenbar . |
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Ich hab folgendes im Netz gefunden kann es mir aber nicht erklären 1. Identität (keine Veränderung) . Drehungen um die Kanten der Basis Drehungen) . Spiegelungen an den Ebenen durch die Ecken der Basis Spiegelungen) . Spiegelungen an den Ebenen durch die Mittelpunkte der Kanten der Basis Spiegelungen) Insgesamt gibt es also Kongruenzabbildungen für das Doppeltetraeder D. |
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Was verstehst du hier unter "Basis" ? Der bewusste konvexe Körper hier besitzt insgesamt 5 Ecken, 6 Außenflächen sowie 9 Kanten. > Ist die Gruppe aller Kongruenzabbildungen kommutativ? Das kann man mit einem Gegenbeispiel leicht beantworten. |
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Die Gruppe aller Kongruenzabbildungen → ist nicht kommutativ. Ein konkretes Beispiel hierfür ist die Anwendung einer Drehung um eine Ecke gefolgt von einer Drehung um eine Kante, im Gegensatz zur umgekehrten Reihenfolge dieser Operationen. Die resultierende Orientierung wird in der Regel unterschiedlich sein, was die Nicht-Kommutativität der Gruppe unterstreicht. Das ist meine Idee |
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Anschaulich: Die 3 Ecken auf der Klebefläche bezeichne ich mit A, B und C, die beiden nicht darauf liegenden mit P und Q. Drehungen: Achse durch PQ, Drehung um 120°, 240°, 360°. P und Q fix, A,B und C tauschen zyklisch. Macht 3 Drehungen incl. Identität bei 360°. Achse durch A und Streckenmitte von BC: Drehung um 180°, A fix, B tauscht mit C und P mit Q. Achse durch B und Streckenmitte von AC: Drehung um 180°, B fix, A tauscht mit C und P mit Q. Achse durch C und Streckenmitte von AB: Drehung um 180°, C fix, A tauscht mit B und P mit Q. Macht 3 Drehungen. Spiegelungen: An der Klebefläche, P tauscht mit Q. An Fläche senkrecht zur Klebefläche durch A und Streckenmitte von BC, B tauscht mit C. An Fläche senkrecht zur Klebefläche durch B und Streckenmitte von AC, A tauscht mit C. An Fläche senkrecht zur Klebefläche durch C und Streckenmitte von AB, A tauscht mit B. Macht 4 Spiegelungen. So kommt man auf 10 Kongruenzabbildungen. Die Liste mit den Zählungen von 1.-12. ist mir größtenteils unverständlich. Die Drehung um eine Basiskante kann doch wohl nur eine um z.B. die Strecke AB sein, und die führt erst nach 360° wieder auf eine kongruente Deckung. Und wieso sind es bei den letzten nur 2 statt 3 Abbildungen? |
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Aber es wurde doch gesagt, dass es Abbildungen sind. |
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Wenn man die von mir genannten verschiedenen Abbildungsarten hintereinander ausführt, kommt man auf mehr Abbildungen. |
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Auf wie viele denn |
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