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Kontraktion und Folge konvergent?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

anonymous

16:45 Uhr, 02.12.2009

Hallo,
habe mal wieder arge Probleme mit einer Aufgabe.
Als Hintergrundwissen:
eine Funktion

f : [a, b] \to [a, b]

mit der Eigenschaft

| f (x) - f (y) | \leq k \cdot | x - y |

heißt Kontraktion auf

[a, b]

x, y

liegen im Intervall

[a, b]

und

k

im Intervall

] 0,1 [

Es sei

x_{}

element

[a, b]

und die Folge

{x_{n}}

durch das Rekursionsschema

x_{n + 1} = f (x_{n})

Nun soll ich zeigen:
1.

| x_{n + 1} - x_{n} | \leq k^{n} \cdot | x_{1} - x_{0} |

und 2. dass die Folge

x_{n}

eine Cauchy-Folge ist.

Wie soll ich denn da überhaupt anfangen?
Danke schon mal für eure Antworten.

gruß, schorch

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

16:53 Uhr, 02.12.2009

1)

Induktion unter Benutzung der Kontraktionseigenschaft von

f

2)

Dreiecksungleichnug und geometrische Reihe mit Faktor

k

anonymous

16:58 Uhr, 02.12.2009

1)

Wenn ich in die Kontraktionseigenschaft

x = x_{n - 1}

und

y = x_{n}

einsetze, komme ich auf

| x_{n + 1} - x_{n} | \leq k \cdot | x_{n} - x_{n - 1} |

. Wie ist das mit Induktion gemeint? Ich muss jetzt ja von

k \cdot | x_{n} - x_{n - 1} |

auf

k^{n} \cdot | x_{1} - x_{0} |

kommen?

hagman aktiv_icon

17:18 Uhr, 02.12.2009

Gilt die Abschätzung für

n = 1

?
Wenn die Abschätzung für

n = k

gilt, kanst du sie dann für

n = k + 1

beweisen?

anonymous

17:30 Uhr, 02.12.2009

1)

Also gar nicht einsetzen und das mit vollst. Induktion lösen?
Aber wie fang ich da an?

| x_{n + 1} - x_{n} | \leq k^{n} | x_{1} - x_{0} |

Was muss ich denn da beim Induktionsanfang

n = 1

einsetzen?
Zu

2)

Kannst du das bitte genauer erklären?

gruß, schorch

hagman aktiv_icon

17:37 Uhr, 02.12.2009

Wenn du bei

| x_{n + 1} - x_{n} | \leq k^{n} | x_{1} - x_{0} |

einfach

n = 1

einsetzt, erhältst du doch wohl

| x_{2} - x_{1} | \leq k | x_{1} - x_{0} |

und nach Definition der

x_{ν}

doch

| f (x_{1}) - f (x_{0}) | \leq k \cdot | x_{1} - x_{0} |

und schon steht die Behauptung auf dem Silbertablett

. .

.

Wenn du bereits

| x_{n + 1} - x_{n} | \leq k^{n} | x_{1} - x_{0} |

weißt, wie kannst du dann

| x_{n + 2} - x_{n + 1} | \leq k^{n + 1} | x_{1} - x_{0} |

zeigen? Tipp: Warum reicht es aus,

| x_{n + 2} - x_{n + 1} | \leq k | x_{n + 1} - x_{n} |

zu haben?

Zur Cauchy-Folge:
Du bräuchtest so etwas wie:
Zu

ε > 0

existiert ein

N \in ℕ_{0},

so dass aus

m > n > N

stets

| x_{m} - x_{n} | < ε

folgt.
Per Dreikcksungleichung ist

| x_{m} - x_{n} | \leq | x_{m} - x_{m - 1} | + . .

+ | x_{n + 1} - x_{n} |

Die einzelnen Summanden

| x_{j + 1} - x_{j} |

kannst du jeweils durch

k^{j} \cdot [x_{1} - x_{0} |

abschätzen, also

| x_{m} - x_{n} |

insgesamt durch

...

anonymous

18:51 Uhr, 02.12.2009

Was ist denn

x_{v}

anonymous

20:32 Uhr, 03.12.2009

Ich habs raus... danke hagman!

schorch

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