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Konvergent und divergent???? Hä??
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 15:03 Uhr, 14.12.2005  |
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HI!! Mein Frage lautet: Warum ist die Reihe 1/n divergent und die Reihe 1/n^2 konvergent!! Den Unterschied versteh ich einfach nicht....als Folge ist es logisch aber warum ist wenn man die beiden als Reihe betrachtet ein Unterschied. Wäre super wenn ihr einen kleinen Beweis für mich hättet! |
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Hallo! Im Internet findest du bestimmt viele Beiträge zum sgn. Integralkriterium. Das hilft hier ganz bestimmt. Es existieren aber auch andere Kriterien, die einfacher zu beweisen sind und zugleich funktionieren sie bei diesen zwei Reihen. Siehe z.B. hier www-math.upb.de~mathkit/Inhalte/Reihen/data/manifest22/intkrit_konv.html und www.math-kit.de/2003/content/RH-PB-XML-cob/Manifest319/intkrit_div.html mfg Marian |
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Hallo, also die Folgen 1/n und 1/n^2 sind beide konvergent gegen 0. Wenn das n gegen unendlich geht, dann werden die Folgenglieder immer kleiner und damit auch der Abstand zu 0. Bei den dazugehoerigen Reihen betrachtet man die Summen ueber die Folgeglieder: Dabei stimmt es, dass die erste Reihe konvergiert, also ins unendliche waechst, wenn du immer weiter Folgeglieder aufaddierst, waehrend die zweite konvergiert, also sich gegen einen endlichen Wert bewegt. Beweisen moechte ich das eigentlich nicht, aber vielleicht kann ich dir eine kleine Begruendung geben. Man betrachte fuer die erste Summe die Funktion f(x)=1/n fuer x in [n-0.5, n+0.5[, wobei n eine natuerliche Zahl groesser 0 ist. Das ist eine Stufenfunktion mit Stufen der Breite 1 und der Hoehe 1/n, wobei die Stufe mit der Hoehe 1/n von n-0,5 bis n+0.5 (exklusive) geht. Wenn man nun die Flaeche dieser Fkt mit den Grenzen 0.5 bis unendlich berechnet, also das Integral davon nimmt, dann kommt man genau auf die Summe, um die es hier geht. Jetzt ist meine Behauptung, dass g(x)=1/x fuer x in R>0 (pos. reelle Zahlen) eine ganz gute Annaehrung dan die erste Funktion ist. Mathematisch moechte ich das aber nicht ganz genaus ausfuehren, weil ich dir nur eine Intuition geben moechte. Das Integral ueber g(x) mit den gleichen Grenzen wie vorher ist aber ln(unendl.)-ln(0.5). Und das ist unendlich. Argumentiert man nun fuer die andere Folge aehnlich und betrachtet das Integral von h(x) = 1/n^2, so kriegt man -1/unendl. + 1/0,5 = 2. Und das ist endlich. Das Geheimnis ist also, dass im ersten Fall die Folgeglieder einfach zu langsam gegen 0 konvergieren, als dass sie in der Summe endlich bleiben koennten. Cheers, Alex |
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