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Konvergenz

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenz

Monika-98 aktiv_icon

13:30 Uhr, 16.11.2022

Hallo alle,

ich komme leider nicht auf die Lösung.
Gesucht ist, ob die Reihe konvergiert? (siehe Anhang)
Für einen ausführlichen Rechenweg mit Lösung, wäre ich Ihnen sehr dankbar.

Liebe Grüße!

calc007

13:33 Uhr, 16.11.2022

Tipp: Leibnitz-Kriterium

Monika-98 aktiv_icon

13:41 Uhr, 16.11.2022

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ich habe bereits die versucht die Aufgabe zu lösen. Mein Grenzwert ist

0,

{(- 1)}^{k}

zu 1 wird und der rechte Term zu 0 wird.
Multipliziert man beides, so kommt 0 raus.

Ist dies richtig ?

Monika-98 aktiv_icon

13:42 Uhr, 16.11.2022

Demnach konvergiert die Reihe, da

0 < 1

ist.*

calc007

13:44 Uhr, 16.11.2022

Sorry, aber deine Begründung ist eher grausam falsch.
Folgte man der, dann wäre auch der Grenzwert von

\sum \frac{1}{n} = 0

Welche Frage willst du eigentlich beantworten?
Die nach der Konvergenz,
oder die nach dem Grenzwert?

Monika-98 aktiv_icon

13:47 Uhr, 16.11.2022

Ich möchte die Frage nach der Konvergenz beantworten.
Im Voraus muss ich aber den Grenzwert ermitteln, um zu sehen ob die Reihe konvergiert oder divergiert.

calc007

13:53 Uhr, 16.11.2022

Du scheinst da noch grundsätzliche Dinge zu verstolpern.
"Im Voraus muss ich aber den Grenzwert ermitteln, um zu sehen ob die Reihe konvergiert oder divergiert."

Die Frage nach Konvergenz ist meist viel einfacher und primärer zu beantworten, als die Frage nach dem Grenzwert.
Typischerweise wirst du erst die Frage nach der Konvergenz beantworten.
Falls die Reihe divergiert, dann besitzt sie nämlich keinen Grenzwert.
Falls die Reihe konvergiert, dann besitzt sie zwar einen Grenzwert, der aber oft gar nicht so leicht, ggf. gar nicht exakt zu bestimmen ist.

Falls es dir gelänge, einen Grenzwert zu bestimmen, dann hat sich die Frage nach Konvergenz doch schon von selbst beantwortet. Denn alle Reihen mit Grenzwert müssen natürlich konvergent gewesen sein.

calc007

13:53 Uhr, 16.11.2022

- -

doppel

- -

Monika-98 aktiv_icon

13:55 Uhr, 16.11.2022

konvergiert die Reihe nach Ihrer Berechnung oder nicht ?

calc007

13:56 Uhr, 16.11.2022

Tipp: Leibnitz-Kriterium

Monika-98 aktiv_icon

14:01 Uhr, 16.11.2022

Kann mir da jemand noch weiter helfen?
Ich komme immer noch nicht drauf.

calc007

14:14 Uhr, 16.11.2022

Das Leibnitz-Kriterum

z . B

. nach de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium besagt in (meinen) vereinfachenden Worten, dass Reihen

>

deren Glieder im Vorzeichen alternieren (abwechselnd plus und minus sind),

>

und deren Betrag stetig abnimmt und verschwindet
konvergieren.

Ist diese deine Reihe Vorzeichen-alternierend?
Nimmt der Betrag der Glieder stetig ab?

Monika-98 aktiv_icon

14:18 Uhr, 16.11.2022

1)

Die Reihe ist aufgrund

{(- 1)}^{k}

alternierend.

2)

Der Betrag wird auch immer stetig klein

In der Vorlesung haben wir aber festgestellt, dass die Reihe divergiert. Ich verstehe aber nicht wieso wir drauf kamen.

calc007

14:21 Uhr, 16.11.2022

Da sowohl

>

die Bedingung nach alternierendem Vorzeichen

>

als auch die Bedingung nach stetig verkleinerndem verschwindendem Betrag
erfüllt ist, ist die Reihe gemäß Leibnitz-Kriterium konvergent.

Ich kann höchstens vermuten, dass du in der Vorlesung was verwechselt hast...

calc007

16:01 Uhr, 16.11.2022

Zur Übung kannst du in diesem einfachen Beispiel natürlich auch den Grenzwert bestimmen.
Tipps:
Partialbruchzerlegung
Teleskopsumme

PS vorab: Der Grenzwert ist ungleich Null.

HAL9000

16:27 Uhr, 16.11.2022

Mir fällt als erstes ins Auge, dass man zuallererst das Reihenglied kräftig vereinfachen kann:

\frac{k^{2} - 4 k}{k^{4} - 16 k^{2}} = \frac{k^{2} - 4 k}{(k^{2} - 4 k) (k^{2} + 4 k)} = \frac{1}{k^{2} + 4 k} = \frac{1}{k (k + 4)}

Man kann damit sogar den Reihenwert berechnen:

\sum_{k = 5}^{\infty} {(- 1)}^{k} \frac{k^{2} - 4 k}{k^{4} - 16 k^{2}} = \sum_{k = 5}^{\infty} {(- 1)}^{k} \frac{1}{k (k + 4)} = \frac{1}{4} \sum_{k = 5}^{\infty} {(- 1)}^{k} [\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 4}] = \frac{1}{4} \sum_{k = 5}^{\infty} [\frac{{(- 1)}^{k}}{k} - \frac{{(- 1)}^{k + 4}}{k + 4}]

Das ist eine Teleskopreihe

\frac{1}{4} \sum_{k = 5}^{\infty} [a_{k} - a_{k + 4}]

, und zwar mit

a_{k} = \frac{{(- 1)}^{k}}{k}

. Es folgt Reihenwert

\sum_{k = 5}^{\infty} {(- 1)}^{k} \frac{k^{2} - 4 k}{k^{4} - 16 k^{2}} = \frac{1}{4} \sum_{k = 5}^{8} a_{k} = - \frac{43}{3360}

.

P.S:: Upps, hatte lange nicht reingesehen und den letzten Beitrag erst jetzt bemerkt.

Monika-98 aktiv_icon

02:02 Uhr, 18.11.2022

Uns wurde mitgeteilt, dass wir diese Aufgabe mit dem Integralkriterium lösen müssen.

Ist es überhaupt möglich, diese Aufgabe mit dem Integralkriterium zu lösen? Nach Definition darf bei dem Integralkriterium kein negativer Zahlenwert vorkommen.

HAL9000

08:44 Uhr, 18.11.2022

Das Integralkriterium taugt nur für die Abschätzung von Reihen mit POSITIVEN Gliedern, die natürlich selbstverständlich im Konvergenzfall einen positiven Reihenwert haben. Die vorliegende Reihe ist alternierend und erfüllt damit diese Voraussetzung nicht.

Im vorliegenden Fall wäre das Integralkriterium allenfalls anwendbar auf die Reihe der Beträge. Das kannst du gern tun, damit hättest du dann sogar die absolute Konvergenz der zu betrachtenden Reihe bewiesen.

Monika-98 aktiv_icon

19:15 Uhr, 20.11.2022

Was wäre, wenn man die alternierende harmonische Reihe dafür verwendet?

Habe mir einige Videos eben angeschaut dazu. Ich vermute es würde auch klappen, aber auf den Rechenweg bzw. Lösungsweg komme ich nicht so wirklich.

HAL9000

20:29 Uhr, 20.11.2022

Tolle Leistung, sich Youtube-Videos reinzuziehen und die dann als "Vorbild" vorzuschlagen, statt die vielen hier bereits im Thread vorliegenden Lösungen überhaupt mal zur Kenntnis zu nehmen.

Monika-98 aktiv_icon

20:31 Uhr, 20.11.2022

Hat es einen Grund weshalb du oben die summe bis 8 genommen hast?

HAL9000

20:42 Uhr, 20.11.2022

Schreib doch einfach

\sum_{k = 5}^{\infty} [a_{k} - a_{k + 4}]

mal aus:

\sum_{k = 5}^{\infty} [a_{k} - a_{k + 4}] = a_{5} - a_{9} + a_{6} - a_{10} + a_{7} - a_{11} + a_{8} - a_{12} + a_{9} - a_{13} + a_{10} - a_{14} + - \dots

Beginnend mit

a_{9}

tauchen alle Glieder je einmal mit + sowie - auf, heben sich also auf (das ist das Wesen von Teleskopsummen). Für die Partialsumme dieser Reihe bedeutet das

\sum_{k = 5}^{n} [a_{k} - a_{k + 4}] = \sum_{k = 5}^{8} a_{k} - \sum_{k = n + 1}^{n + 4} a_{k}

.

Für

n \to \infty

konvergiert die hintere (ebenfalls vier Glieder umfassende) Summe gegen Null, sofern

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

gilt.

Monika-98 aktiv_icon

21:04 Uhr, 20.11.2022

Vielen Dank für die Hilfe und Zeit!

Reihen sind nicht mein Thema

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