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Konvergenz Reihe 1/k! richtig?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenz, Quotientenkriterium

UchihaMadara aktiv_icon

19:38 Uhr, 07.09.2023

Hi!

Ich will die Konvergenz der Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}!

zeigen.

Quotientenkriterium:
..

= \frac{k!}{(k + 1)!} = lim_{k \to \infty} \frac{k}{k + 1} = 0 < 1 \to

Reihe konvergiert.

Stimmt das so?

VG.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

UchihaMadara aktiv_icon

19:41 Uhr, 07.09.2023

Wobei es sich ja um eine Reihe handelt, die muss ja divergieren..

Ich weiß aber nicht, wie ich das zeigen soll..

michaL aktiv_icon

19:47 Uhr, 07.09.2023

Hallo,

sag mal, besuchst du denn überhaupt die Vorlesungen?

1.

lim_{k \to \infty} \frac{k}{k + 1} = 1

2. Es gilt

\frac{1}{k!} \leq \frac{1}{k \cdot (k - 1)}

für

k \geq 2

, d.h. die Reihe

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k (k - 1)}

ist eine konvergente Majorante für

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k!}

.
Das eine fehlende Glied spielt für die Konvergenz keine Rolle.

Dass

\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{k (k - 1)}

konvergiert, glaube ich, dir schon einmal unter die Nase gerieben zu haben (als es um

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}

ging).

Mfg Michael

UchihaMadara aktiv_icon

20:07 Uhr, 07.09.2023

Vielen Dank! ;-)

HAL9000

11:03 Uhr, 08.09.2023

Tatsächlich ist

\frac{k!}{(k + 1)!} = \frac{k!}{(k + 1) \cdot k!} = \frac{1}{k + 1}

statt

\frac{k}{k + 1}

. Und in einer Gleichungszeile je nach Lust und Laune mal einen Limes

lim_{k \to \infty}

reinzuschreiben und dann wieder wegzulassen widerspricht der ganzen Bedeutung des Gleichheitszeichens. Also:

\frac{k!}{(k + 1)!} = \frac{1}{k + 1}

ist Ok, und

lim_{k \to \infty} \frac{k!}{(k + 1)!} = lim_{k \to \infty} \frac{1}{k + 1}

auch.

Aber

\frac{k!}{(k + 1)!} \overset{? ? ?}{=} lim_{k \to \infty} \frac{1}{k + 1}

ist einfach nur Bullshit. Wenn man zu faul zum Schreiben des Limes-Symbols ist, gibt es noch die Notations-Alternative

\frac{k!}{(k + 1)!} = \frac{1}{k + 1} \to 0

für

k \to \infty

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