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Konvergenz von Folgen
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 17:29 Uhr, 12.03.2005  |
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Hallo zusammen, hätte da ein paar Fragen zum Thema Konvergenz von Folgen. Bis jetzt habe ich die Konvergenz/Divergenz von Folgen einfach dadurch bewiesen, dass ich die vorgegebenen Terme einfach so umgeformt habe, dass ersichtlich war, gegen welchen Grenzwert diese Folge konvergiert oder halt, dass diese Folge divergent war. Wofür gibt es denn dann nun diese ganzen Sachen wie Cauchy,Monotonie, Bolzano-Weienstrauß, Sandwich-Theorem? Und die zweite Frage: Bei Folgen, die eine dritte Wurzel enthalten, weiß ich nicht wie ich vorgehen soll. Also bei quadratischen Wurzeln kann ich ja einfach die dritte binomische Formel anwenden und so die Wurzelterme wegkriegen. Aber wie geht man bei dritten Wurzeln vor? |
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anonymous 11:33 Uhr, 19.03.2005 |
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Bim bearbeiten von Folgen, kann man die Konstruktionsvorschrift nicht immer durch Äquivalenzumformungen auf eine einfach zu behandelnde Form bringen. Das geht bei interessanten Folgen sogar fast nie. z.B.: (1+1/n)^n -> e. (siehe unten). Diese Konvergenz kann man aber nicht so ohne weiteres zeigen. Ganz im Gegenteil... man geht in der Analysis so vor, dass man e gerade als den Limes dieser Folge definiert. Wie zeigt man also die Konvergenz? Man zeigt: 1.) 2 <= a_n (mit a_n nach unten stehender Formel definiert) 2.) 3 >= a_n 3.) Für n >= 3 (da bin ich mir nicht sicher... aber es gibt so eine Schranke) ist a_n monoton. Daraus folgt: a_n ist eine monotone beschränkte Folge und daraus folgt a_n konvergiert. Wogegen? Na gegen den Limes... und den nennen wir e. Ich hoffe du hast jetzt verstanden, wozu man die theoretisch stärkeren Ergebnisse und Methoden gebrauchen kann... denn ohne diese Sätze keine Exponentialfunktion... und die ist SUPER! |
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