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Konvergenz von Indikatorfunktionen

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Maßtheorie

Tags: Funktionenfolgen, Indikatorfunktion, Konvergenz, Maßtheorie, Punktweise Konvergenz

nickly1 aktiv_icon

17:32 Uhr, 16.11.2014

Hallo zusammen,

ich habe richtige Probleme mit den Konvergenz von Funktionenfolgen. In dieser Aufgabe soll ich überprüfen, ob die gegebende Funktion punktweise (fast überall), gleichmäßig , im Maß und in

L 1

konvergiert.

1 .) f (x) = n \cdot 1 [0, (\frac{1}{n})] (x)

2 .) g (x) = (\frac{1}{n}) \cdot 1 [0, n] (x)

3 .) h (x) = 1 [n, n + 1] (x)

Die "1" soll die Schreibweise für die Indikatorfunktion sein.

Ich würde mich über eure Hilfe und Ansätze sehr freuen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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13:33 Uhr, 17.11.2014

Was für Probleme hast Du genau?
Verstehst Du z.B., dass alle drei punktweise (fast überall) konvergieren?

nickly1 aktiv_icon

13:42 Uhr, 17.11.2014

Also ich verstehe punktweise fast überall, Konvergenz im Maß und L1-Konvergenz bei indikatorfunktionen nicht.

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13:43 Uhr, 17.11.2014

Was meinst Du damit? Du verstehst die Definitionen nicht?
Hast Du denn schon gelesen?

nickly1 aktiv_icon

13:49 Uhr, 17.11.2014

Die definitionen sind mir bekannt, aber ich weiß nicht wie ich sie anwenden kann

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13:55 Uhr, 17.11.2014

Na, direkt.
Z.B. Nummer 3), Funktionen

f_{n} (x) = 1_{[n, n + 1]} (x) = 1

, wenn

n \in [n, n + 1]

und

0

sonst.
Nehmen

x

beliebig. Dann für alle

n > x

gilt

x \notin [n, n + 1] = > f_{n} (x) = 0

.
Also,

f_{n} (x) = 0

für alle

n > x

lim_{n} f_{n} (x) = 0

, natürlich. Also punktweise Konvergenz, sogar überall.
Kann es eine

L_{1}

-Konvergenz sein? Wenn ja, dann müsste die Grenzfunktion die punktweise Grenzfunktion sein, also Null.

f_{n} \to 0

L_{1}

ist aber gleichbedeutend zu

\int_{- \infty}^{\infty} ∣ f_{n} (x) - 0 ∣ d x \to 0

, aber

\int_{- \infty}^{\infty} ∣ f_{n} (x) ∣ d x = \int_{n}^{n + 1} 1 d x = 1

für alle

n

, also gibt's keine

L_{1}

-Kovergenz

f_{n} \to 0

.

Usw.

nickly1 aktiv_icon

14:05 Uhr, 17.11.2014

Aso danke^^
Die konvergenzarten habe ich also verstanden.Ist doch nicht so schwer.
Ich wäre dir noch dankbar, wenn du mir Konvergenz im Maß zeigen könntest :-)
Also nur ein Beispiel...

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16:31 Uhr, 17.11.2014

Sei

h_{n} (x) = 1_{[n, n + 1]} (x)

konvergent gegehn

h (x)

nach Lebesgue-Maß.
Das bedeutet:

λ ({x : ∣ h_{n} (x) - h (x) ∣ \geq ε}) \to 0

für jedes

ε > 0

.
Daraus folgt:

λ ({x \in [n, n + 1] : h (x) \neq 0}) = 0

für alle

n

.
Beweis. Wäre

λ ({x \in [n, n + 1] : h (x) \neq 0}) > 0

, so würde ein

ε > 0

existieren, so dass

λ ({x \in [n, n + 1] : ∣ h (x) ∣ \geq ε}) > 0

. Dann würde aber für

x > n

gelten:

λ ({x : ∣ h_{n} (x) - h (x) ∣ \geq ε}) = λ ({x : ∣ h (x) ∣ \geq ε}) > 0

, Widerspruch zu

λ ({x : ∣ h_{n} (x) - h (x) ∣ \geq ε}) \to 0

.
Also,

h (x)

ist fast überall

0

in jedem Intervall

[n, n + 1]

h (x)

Null fast überall insgesamt.
Dann aber für

ε = 1 / 2

gilt

λ ({x : ∣ h_{n} (x) - h (x) ∣ \geq ε}) = λ ([n, n + 1]) = 1 > 0

, was wiederum ein Widerspruch zu

λ ({x : ∣ h_{n} (x) - h (x) ∣ \geq ε}) \to 0

ist.
Also,

h_{n} (x)

ist nicht konvergent nach Mass.
(

λ

ist Lebesgue-Maß).

theK1 aktiv_icon

14:01 Uhr, 18.04.2016

Hey, ich hab eine ähnliche Frage.
Ich habe eine Indikatorfunktion

f_{j, k}

des intervals

(\frac{j}{2^{- k}}, \frac{j + 1}{2^{- k}})

k = 0, 1, 2, \dots

und

j = 0 . . 2^{k} - 1

.
Ich habe folgende Reihe:

\sum_{i = 1}^{\infty} x_{k} = f_{0, 0} - f_{0, 0} + f_{0, 1} - f_{0, 1} + f_{1, 1} - f_{1, 1} + \dots

Ich soll zeigen, dass sie im

L^{2} [0, 1]

gegen 0 konvergiert.

Das diese Anordnung gegen 0 geht habe ich per vollständiger Induktion bewiesen. Mir fehlt gerade noch der Ansatz, dass diese Reihe konvergiert. Bzw. eine Idee der Beweisführung.

Mein Hintergrund ist: ich möchte gerne zeigen, dass eine Umordnung dieser Reihe gegen die Konstante Funktion

1

gehen kann.
Und im nächsten Zug, dass die Menge {

x \in L^{2} [0, 1] : x = \sum_{i = 1}^{\infty} x_{π (k)}

} nicht konvex ist.

Habt ihr eine Idee?
Vielen Dank schonmal

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16:15 Uhr, 18.04.2016

"Dass diese Anordnung gegen 0 geht habe ich per vollständiger Induktion bewiesen."

Das fällt mir sehr schwer zu glauben. Mit der Induktion kann man normalerweise keine Grenzwertaussagen beweisen.

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16:16 Uhr, 18.04.2016

Und Deine Reihe sieht echt komisch aus. Was soll denn

\sum_{i = 1}^{\infty} x_{k}

sein? Schon die Indizes passen nicht zusammen.

theK1 aktiv_icon

16:17 Uhr, 18.04.2016

Ja genau, das ist es ja. Ich hab nur gezeigt, dass wenn du von jedem Element in der nächsten Addition das Element wieder abziehst. und das für alle j. Das ist ja eine Aufspaltung des Intervalls in immer kleinere Intervalle.

Das heißt ich hab nicht bewiesen, dass es konvergiert! Das ist mir bewusst, daher überlege ich ja wie ich das machen könnte.

Die Reihe läuft über k, Entschuldigung, da hat sich ein Tippfehler eingeschleust.

Es geht um die Frage, ob die Menge aller möglichen Summenwerte von Umordnungen der Reihe konvex ist.

Diese Reihe ist eine konvergente aber nicht absolut konvergente Reihe in einem endlich dimensionalen Banachraum. Hier ist die Menge auch konvex.
Im unendlichen Raum, gilt dies nicht.

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16:23 Uhr, 18.04.2016

Wenn Du jeden Summanden wieder abziehst, dann ist jede Zwischensumme entweder

0

oder der letzte Summand. Natürlich konvergieren diese Zwischensummen gegen

0

L_{2}

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16:25 Uhr, 18.04.2016

Was für endlich-dimensionalen Banachraum meinst Du denn?

theK1 aktiv_icon

16:25 Uhr, 18.04.2016

Ja und das natürlich möchte ich gerne zeigen.

Es gibt eine Umordnung,

f_{0, 0} + f_{0, 1} + f_{1, 1} - f_{0, 0} + \dots

die gegen die konstante Funktion

1

konvergiert.

Aber mir fehlt halt gerade die Idee für den Beweis

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16:26 Uhr, 18.04.2016

"Hier ist die Menge auch konvex."

Welche Menge? :-O

Sorry, aber entweder verstehst Du nicht, was Du schreibst, oder Du schaffst es nicht, halbwegs verständlich darzustellen.

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16:26 Uhr, 18.04.2016

"Aber mir fehlt halt gerade die Idee für den Beweis"

Beweis wovon?

theK1 aktiv_icon

16:35 Uhr, 18.04.2016

Okay. Also nochmal in Ruhe.

Wir haben einen endlichen dimensionalen Banachraum

B

. Desweiteren eine Reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} x_{k}

B

. Diese ist konvergent, aber nicht absolut konvergent.

Ich weiß, dass die Menge aller möglichen Summenwerte von Umordnung dieser Reihe konvex ist.

Jetzt möchte ich im nächsten Schritt dieses auch für unendlich dimensionale Banachräume prüfen. Ich weiß, dass dies nicht der Fall ist. Man findet auch einige Gegenbeweise hierzu.

Ich verstehe, dass die eben vorgestellte Summe der

f_{j, k}

L^{2} [0, 1]

gegen

0

geht. Da jede zweite Partialsumme, wie eben von dir beschrieben, null ist, oder die Indikatorfunktion.

Aber das würde ich gerne zeigen. Und genau dafür fehlt mir gerade der Ansatz.

Sorry, ich hoffe ich hab das jetzt einigermaßen verständlich erklärt.

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16:40 Uhr, 18.04.2016

Du willst zeigen, dass die Zwischensummen gegen

0

L_{2}

konvergieren? Das ist doch offensichtlich.
Ok, wenn nicht, dann geht es so. Sei

ε > 0

beliebig. Wähle

k_{0}

so, dass

2^{- k_{0}} < ε

. Dann gilt für jede Indikatorfunktion

f_{j, k}

mit

k > k_{0}

\int f_{j, k}^{2} d x = \frac{1}{2^{k}} < 2^{- k_{0}} < ε

. Da jede Zwischensumme

S_{j, k}

entweder

0

oder

f_{j, k}

ist, folgt

\int S_{j, k}^{2} d x < ε

. Damit konvergieren die Zwischensummen gegen

0

L_{2}

. Fertig.

theK1 aktiv_icon

16:56 Uhr, 18.04.2016

Ja es ist ja auch offensichtlich, aber anscheinend hatte ich gerade einen MEGA Gedankenfehler.

Vielen Dank. Das hat mir sehr weiter geholfen.

Den Beweis der Konvergenz der Umordnung gegen die Funktion 1, würde ich analog aufschreiben.

Hast du einen Tipp für die Herangehensweise an den Beweis: Die Menge M ist nicht konvex.
M = {

x \in L^{2} [0, 1] :

eine Umordnung

x = \sum_{i = 0}^{\infty} x_{π (i)}

}
Hier müssten ja alle

x_{n}

ℤ - w e r t i g

sein

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16:59 Uhr, 18.04.2016

Bist Du sicher, dass die Menge nicht konvex ist? Ich würde spontan anders entscheiden.

theK1 aktiv_icon

17:03 Uhr, 18.04.2016

Im UN - endlichen Banachraum soll sie nicht konvex sein!

DrBoogie aktiv_icon

18:26 Uhr, 18.04.2016

Das scheint mir eine recht komplizierte Aufgabe zu sein. Ich habe keine Ahnung, wie hier vorzugehen ist.

theK1 aktiv_icon

13:59 Uhr, 22.04.2016

Ja, ich überlge auch noch wie ich hier herangehen kann. Mein Problem ist, ich glaube ich habe nicht ganz verstanden was die

x_k

sind. Also welcher Typ, odeer wie sehen die aus...

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