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Konvergenz von Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

Student1989 aktiv_icon

19:00 Uhr, 25.01.2010

Hi also Reihen ist nicht mein Thema ich muss die aufgabe auf konvergenz untersuchen aber ich habe keine ahnung was ich machen soll bzw wie ich es angehen soll ich hab mir den zwar durchgelesen von Reihen aber irgendwie kann ich nichts davon wirklich anwenden auf die aufgabe...

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k + \sqrt{k}}{k^{3} + 2 k^{2} + 5 k - 1}$

die zweite aufgabe ist

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k^{2} + \sqrt{k}}{k^{3} + 2 k^{2} + 5 k - 1}$

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

tex24 aktiv_icon

21:43 Uhr, 25.01.2010

Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich würde durch die höchste Potenz dividieren (k³), und da würde beim Grenzwert 0 rauskommen

Student1989 aktiv_icon

22:20 Uhr, 25.01.2010

aber ich dachte ich muss erst eine Berechnungsformel für den Summenwert der n-ten Partialsumme herleiten und von diesem dann den grenzwert bestimmen???

pakaKoni aktiv_icon

22:29 Uhr, 25.01.2010

Hallo

kennst du keine konvergenzkriterien wie das Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, oder hier gut, das Verdichtungskriterium?

nein, Verdichtungskriterium bringt auch nix.

Chiao

Student1989 aktiv_icon

10:36 Uhr, 26.01.2010

kennen tue ich sie schon nur weiss ich nicht wie ich die hier anwenden soll...

arrow30

10:43 Uhr, 26.01.2010

moin ,

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k + \sqrt{k}}{k^{3} + 2 k^{2} + 5 k - 1} < \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k + k}{k^{3} + 2 k^{2} + 5 k - 1} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k}{k^{3} + 2 k^{2} + 5 k - 1} < \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k}{k^{3} + 2 k^{2} + 5 k - k} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k}{k^{3} + 2 k^{2} + 4 k} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2}{k^{2} + 2 k + 4} < \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2}{k^{2}} \to

Konvergenz

Student1989 aktiv_icon

10:45 Uhr, 26.01.2010

kannst du mir sagen wie du zu dieser umformung kommst bzw wieso das ergebnis von dir konvergent ist? ich mein du hast ja nix anderes gemacht als umgeformt oder? wie kommen da jetzt die konvergenzkriterien zum einsatz bzw ist es damit fertig?

Ich hab keine peilung von dem thema

...

arrow30

11:00 Uhr, 26.01.2010

ich hoffe du kennst das Majoranten-Kr. oben habe ich umgeformt bis ich auf eine Summe kam ,von der man weiß ,dass die konvergiert

(\sum \frac{1}{k^{2}})

. majoranten-KR ,besagt wenn ich eine größere Reihe finde ,die mehr Fleisch als meine hat und trotzdem konvergiert ,dann muss meine kleine Reihe auch konvergieren .

Student1989 aktiv_icon

11:14 Uhr, 26.01.2010

hmm ok das erleuchtet mir

aber wieso formst du es um bis zu ne summe bekommst?
muss man das um die kriterien anzuwenden??

bei der zweiten aufgabe habe ich das nun mal versucht ich habe es nun bis dahin umgeformt

\frac{k \cdot k + k}{k^{3} + 2 k^{2} + 5 k - k}

jeztt habe ich ja wieder ne summe jetzt kann ich das

k

ja teoretisch noch ausklammern um des ganze

n

bissl zu vereinfachen oder bringt das nix?

das ergäbe dann

\frac{k (k + 1)}{k (k^{2} + 2 k + 5 - 1)} < \frac{k + k}{k^{2} + 2 k + 4 k} = \frac{2 k}{k^{2} + 2 k + 4 k}

was nach dem Majoranten-Kriterium auf wiederum konvergiert oderr?

arrow30

11:25 Uhr, 26.01.2010

hmm nein so nicht ,du sollst eine majorante finden die aber Konvergenz ist

! 2 \frac{k}{k^{2} + 6 k} = \frac{1}{k + 6}

diese Reihe konvergiert nicht (harmonische) und somit hilft deine Umformung nicht weiter . (sozusagen du hast eine größere gefunden ,diese ist aber Divergenz )

Student1989 aktiv_icon

11:37 Uhr, 26.01.2010

oh man... aber mit dem Majoranten-Kriterium muss ich hier schon arbeiten oder?

arrow30

11:47 Uhr, 26.01.2010

hmm müssen doch nicht (was wenn diese Reihe nicht konvergiert ? da findest du nie eine Majorante

!)

arrow30

11:53 Uhr, 26.01.2010

Nachtrag :
Tipp Minoranten-Kr ( diese Reihe ist Divergenz )

Student1989 aktiv_icon

12:02 Uhr, 26.01.2010

nun ja woher weiss man was fuer ein kriterium man anweden muss bzw wie muss man an so ne aufgabe ran gehen muss man einfach ausprobieren oder ist es pure einschätzung??

Dieses Kriterium sagt ja:
Ist divergent, so ist auch divergent.

muss man dann die aufgabe

\frac{k^{2} + k}{k^{3} + 2 k^{2} + 5 k - 1}

dann gerade auf konvergenz überprüfen? oder wie ?? oder muss man erster ne summe draus machen

arrow30

12:26 Uhr, 26.01.2010

üben üben üben danach bekommt man schon ein Gefühl dafür :-) bei deiner Reihe sieht man schon sofort Quotienten/Wurzel Kr. helfen nicht die machen das Leben nur schwerer.
falls du so etwas hast

\to \sum 2^{n} \cdot \frac{n}{4^{n}} \to

da bietet sich Wurzel-kr. sehr gut an eben wegen die

n

Potenzen .

zurück zu deiner Aufgabe erste Teil sah ich im Zähler ein

k

und im Nenner

k^{3}

und hatte schon sofort die Idee gehabt die Reihe mit

\frac{1}{k^{2}}

zu vergleichen .
jetzt Teil 2 sehe ich

k^{2}

im Zähler und

k^{3}

im Nenner dann war meine erste Idee die Reihe mit

\frac{1}{k}

zu vergleichen .

Student1989 aktiv_icon

12:47 Uhr, 26.01.2010

ok das mit dem üben war mir ja fast schon klar :-)

ok wenn man des mit

\frac{1}{k}

vergleichen muss ( wie du darauf kommst leuchtet mir mitlerweile auch ein )

dann schaue ich ob

\frac{1}{k}

konvergiert oder nicht!

\Rightarrow

harmonische reihe ist divergenz! somit ist auch die aufgabe divergent

aber wie muss man des hinschreiben reicht des

\frac{k^{2} + \sqrt{k}}{k^{3} + 2 k^{2} + 5 k - 1} > \frac{1}{k}

???

arrow30

12:51 Uhr, 26.01.2010

jaaber du musst zeigen dass die Reihe

>

als

\sum \frac{1}{n}

oder

\frac{1}{n^{a}}

mit

a < 1

ist bekannt dass

\sum \frac{1}{n^{a}}

Divergenz falls

a \leq 1

Student1989 aktiv_icon

13:05 Uhr, 26.01.2010

kann ich das mit vollständiger induktion machen? oder gibt es ein einfacheren weg ich koennte mir vorstellen dass man durch umformen das auch zeigen kann

man könnte auch fogelndes versuchen:

\frac{k^{2} + \sqrt{k}}{k^{3} + 2 k^{2} + 5 k - 1} < \frac{k^{2} + k}{k^{3} + 2 k^{2} + 5 k - k} = \frac{k^{2} + k}{k^{3} + 2 k^{2} + 4 k} = \frac{1}{k} + \frac{k^{2} + k}{k^{2} + 2 k + 4} > \frac{1}{k}

stimmt das so??

arrow30

13:11 Uhr, 26.01.2010

ich weiß doch was dich da stört

\sqrt{k} \to

weg damit :-) du suchst ja eine kleinere Reihe .
wenn wir den Zähler verkleinern dann wird unser Bruch kleiner ebenso vergrößern den Nenner verkleinern wir das ganze .
also..

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k^{2} + \sqrt{k}}{k^{3} + 2 k^{2} + 5 k - 1} > \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k^{2}}{k^{3} + 2 k^{2} + 5 k^{2}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k + 7} \to

harmonische Reihe konvergiert nicht .

Student1989 aktiv_icon

13:15 Uhr, 26.01.2010

ich habe es geahnt das der schritt mit dem

\sqrt{k}

k

nicht geht weil wir ja wie du sagtest ne kleinere reihe suchen

\land

aber das ich einfach dem einfachen weg nehme ist wiedermal typisch für mich...

ok also zusammengefasst ist das ganze divergenz ;-) ich hoffe das ich das in eminer prüfung hin bekomme

\land

ist zwar noch

1,5

monate aber ich hoffe das ich bis dahin

n

gefühl bekommen werde

\land

danke dir für deine ausdauer :-)

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