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Konvergenz von rekursiven Folgen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Epsilon, Folgen und Reihen, Konvergenz, Rekursion

Patrick-Ries aktiv_icon

18:28 Uhr, 11.11.2016

Ich melde schon wieder, weil ich wieder etwas hänge bei einem Beweis bzw. Notation. Ich habe folgende Angabe:

Untersuchen Sie die folgenden rekursiv definierten Folgen (an) auf Konvergenz. Bestimmen
Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

a_{1} := \frac{1}{2}, a_{n + 1} := a_{n} - a_{n}^{2}, \forall n \in ℕ

Meine Behauptung ist dass

a_{n}

gegen 0 konvergiert weil, da

a_{n}^{2}

immer kleiner als

a_{n}

ist und somit nähert sich das ganze gegen 0 an, weil "kleine Zahl" - "kleinere Zahl"

> 0

Nur wie schreibe ich das das ganze nun richtig auf um Konvergenz zu zeigen, das einzige was ich so direkt gefunden habe ist.
Man sagt dass

a_{n}

einen Grenzwert

g

hat:

a = a + a^{2}

\Leftrightarrow 0 = a^{2}

\Leftrightarrow a = 0

Also dann hat

a_{n}

einen Grenzwert a von 0.

Aber wie würde man das Richtig machen ?

MfG Patrick

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

18:44 Uhr, 11.11.2016

>

Man sagt dass an einen Grenzwert

g

hat:

> a = a + a^{2}

...

>

Also dann hat an einen Grenzwert a von 0.

Naja, diese Vorgangsweise setzt aber bereits voraus, dass man weiß, dass

(a_{n})

konvergent ist.
Denn sie würde ganz genau so funktionieren, wenn bei deiner Folge der Startwert

a_{1} = 2

wäre oder bei einer Folge, die durch

a_{n + 1} = 2 \cdot a_{n}

definiert ist. In beiden Fällen liegt aber Divergenz vor.

Also musst du erst zeigen, dass es sich um eine konvergent Folge handelt, bevor du daran gehen kannst, ihren Grenzwert zu bestimmen.

Untersuche also, ob die Folge monoton und beschränkt ist.
Die Beschränktheit nach unten mit 0 hast du ja schon erwähnt, die formale Begründung fällt dir mit der Zerlegung

a_{n} - a_{n}^{2} = a_{n} \cdot (1 - a_{n})

mit

0 < a_{n} < 1

wohl leichter.
Und die Monotonie wird wohl noch einfacher nachzuweisen sein, wenn du bedenkts, dass

a^{2} > 0 \forall a \in ℝ

gilt.

Patrick-Ries aktiv_icon

18:58 Uhr, 11.11.2016

Ich habe jetzt gesagt

a_{n} \in (0,1)

und dies induktiv bewiesen und dann gesagt dass es einen

a := lim_{n \to \infty} a_{n}

gibt

Roman-22

02:34 Uhr, 12.11.2016

>

Ich habe jetzt gesagt an∈(0,1) und dies induktiv bewiesen
Induktion ist aber ein schweres Geschütz für dieses Leichtgewicht.

a_{n} \cdot (1 - a_{n}) > 0

für

0 < a_{n} < 1

(als Produkt zweier positiver Größen)
Stellt man sich

a_{n} \cdot (1 - a_{n})

als Parabel vor, so liegt ihr Scheitel/Maximum bei

a_{n} = \frac{1}{2}

mit

\frac{1}{4}

vor. Könnte man mit geometrisches Mittel

\leq

arithmetisches Mittel begründen. Also gilt

0 < a_{n} \cdot (1 - a_{n}) \leq \frac{1}{4}

>

und dann gesagt dass es einen a:=limn→∞an gibt
Sagen kann man viel. Hast du die Existent von a auch gezeigt? Ich hatte vorgeschlagen, mit der Monotonie und der Beschränktheit (siehe vorheriger Absatz) zu argumentieren.

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