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Konvergenzbereich einer Potenzreihe bestimmen

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen, Konvergenzbereich, Konvergenzradius, potenzreihen, Quotientenkriterium

anonymous

12:42 Uhr, 23.11.2018

Hallo,

meine Aufgabe ist die:

Berechnen Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe

\sum \frac{n!}{n^{n}} \cdot x^{n}

mit dem Quotientenkriterium. Folgern Sie daraus den Limes von

\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}

für

n \to \infty

.

Quotientenkriterium sollte kein Problem sein:

\frac{\frac{(n + 1)!}{n^{n + 1}}}{\frac{n!}{n}} = \frac{(n + 1)! \cdot n^{n}}{n^{n + 1} \cdot n!}

durch kürzen erhält man

lim n \to \infty \frac{n + 1}{n} = 1

da ja

x^{n}

für

{(x - a)}^{n}

steht, ist unser

a = 0,

also ist das Konvergenzintervall(a-r,a+r)=

- 1, 1

. Jetzt geht es ja noch um die Randpunkte, ob die konvergent sind.

Einsetzten von

- 1 : \sum \frac{n!}{n^{n}} \cdot {(- 1)}^{n}

und das schaut mMn verdächtig nach Leibnitzkriterium aus, und da

\frac{n!}{n^{n}}

eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert die Reihe, also gehört da auf jeden Fall mal ein

[- 1, 1

.

Einsetzten von

1 : \sum \frac{n!}{n^{n}} \cdot {(1)}^{n} = \sum \frac{n!}{n^{n}} \cdot 1 = \sum \frac{n!}{n^{n}}

. Wie bereits bei

- 1

ist der Ausdruck wieder eine monoton fallende Nullfolge, daher konvergent.

Mein Intervall wäre also

[- 1,1]

oder?

Sofern das alles richtig ist, meine Frage:
Wie kann ich daraus jetzt den Limes von

\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}

für

n \to \infty

folgern?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

13:33 Uhr, 23.11.2018

Kein Problem? Doch Problem, und zwar durch falsches Einsetzen: Für

a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}

ist

a_{n + 1} = \frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n + 1}}

und damit

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{\frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n + 1}}}{\frac{n!}{n^{n}}} = \frac{(n + 1)! n^{n}}{(n + 1)^{n + 1} n!} = \frac{n^{n}}{(n + 1)^{n}} = \frac{1}{{(1 + \frac{1}{n})}^{n}}

,

um das schon mal für die Grenzwertbildung vorzubereiten...

Was den Grenzwert

lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}

betrifft, ein Tipp: Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist immer derselbe, egal ob man ihn per Quotientengrenzwert (sofern existent) oder Wurzelgrenzwert (d.h. Cauchy-Hadamard) ermittelt.

anonymous

14:38 Uhr, 23.11.2018

Okay, danke für den Hinweis, dann komme ich auf den limes

\frac{1}{e}, d . h

. für die Konvergenz an den Randpunkten mache ich eh das was ich bereits aufgeschrieben habe, aber nur mit

\pm \frac{1}{e}

oder?

Edit: Warte, der radius ist ja immer 1/limes, dh. in dem Fall wäre das

\frac{1}{\frac{1}{e}}

und das wäre

e

oder?

HAL9000

14:53 Uhr, 23.11.2018

Letzteres ist richtig, d.h., der Konvergenzradius deiner Potenzreihe ist gleich

e

.

Am Rand liegt jeweils Divergenz vor, das sieht man an

{(1 + \frac{1}{n})}^{n} < e

für alle

n \geq 1

in Verbindung mit obigem Quotienten.

anonymous

15:06 Uhr, 23.11.2018

Okay, dann hätte ich mal den ersten Punkt erledigt, danke!

Beim zweiten,

\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}

ist ja eigentlich das selbe wie die Potenzreihe bei

a,

nur halt eben die n-te Wurzel gezogen, wie du ja gesagt hast, einfach das Wurzelkriterium angewendet. Klarerweise muss da auch der selbe GW rauskommen, also auch

e

. Passt dieser Schluss?

HAL9000

15:18 Uhr, 23.11.2018

Da ist sie wieder, die Verwechslung mit dem Kehrwert. Richtig ist

lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \frac{1}{e}

anonymous

15:22 Uhr, 23.11.2018

Achja, weil da ja keine Potenzreihe gemeint ist, sondern nur der Limes, richtig? *facepalm*

Danke für deine Hilfe, rettest mir gerade den Arsch :-P)

HAL9000

15:49 Uhr, 23.11.2018

Ja genau, nur der Grenzwert

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}}

für

a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}

ist hier gesucht.

Der Zusammenhang zum Konvergenzradius

R

der Potenzreihe ist

R = \frac{1}{\underset{n \to \infty}{limsup} \sqrt[n]{∣ a_{n} ∣}}

, das ist die sogenannte Formel von Cauchy-Hadamard.

Kerim30 aktiv_icon

13:47 Uhr, 26.01.2020

Hi,

Ich gehe zurzeit viele konvergenz aufg durch und bin hier angelangt.

Hätte man hier nicht eigentl für

R

den Grenzwert an/an+1 rechnen müssen?

HAL9000

10:03 Uhr, 27.01.2020

Manche Fragen erübrigen sich, wenn man den Thread GRÜNDLICH liest:

> Edit: Warte, der radius ist ja immer 1/limes, dh. in dem Fall wäre das

\frac{1}{\frac{1}{e}}

und das wäre

e

oder?

Es ist daher ziemlich unerheblich, ob man nun

R = \frac{1}{lim_{n \to \infty} ∣ \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} ∣}

oder

R = lim_{n \to \infty} ∣ \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} ∣

rechnet, sofern die beteiligten Grenzwerte als positive reelle Zahlen existieren.

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