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Konvergenzbeweis beschränkte Folge mit einem HP

Universität / Fachhochschule

Tags: Beschränktheit, Folgen, formaler Beweis, Häufungspunkt, Konvergenz

gotnoidea aktiv_icon

21:09 Uhr, 23.11.2014

Hey liebe Mitglieder und Gäste,

ich tue mich sehr schwer mit formalen Beweisen in der Analysis. Die folgende Aufgabstellung ist zu lösen:

Eine reelle Zahlenfolge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt besitzt.

Da hier eine "<=>"-Beziehung behauptet wird, müssen beide Richtungen bewiesen werden:

"=>"
Sei

a_{n}

eine reelle, konvergente Zahlenfolge. Nach Satz

7.2

ist jede konvergente Zahlenfolge beschränkt. Da die Folge

a_{n}

eine konvergente Teilfolge besitzt (nämlich

a_{n}

selbst), besitzt

a_{n}

auch einen Häufungspunkt (den Grenzwert von

a_{n})

.

Das dürfte hier doch ausreichen oder? Denn falls

a_{n}

mehr als einen Häufungspunkt besitzt, ist

a_{n}

ja nicht mehr konvergent,

d . h

. es muss genau ein HP existieren.

bei der Rückbeziehung habe ich Schwierigkeiten:

"<="
Sei

a_{n}

eine beschränkte Folge, die genau einen Häufungspunkt besitzt. Aus der Beschränktheit von

a_{n}

folgt, dass

a_{n} \leq s \forall n \in ℕ

. Aus der Existenz des Häufungspunktes lässt sich schließen, dass eine konvergente Teilfolge von

a_{n}

existiert. Hier muss doch irgendwie einfließen, dass es eben nur genau einen HP gibt, oder wie wird die Rückrichtung bewiesen?

Ich hoffe mir kann jemand helfen,

freundliche Grüße und danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

21:23 Uhr, 23.11.2014

\Rightarrow

" sieht schonmal ganz gut aus, nur das Ende gefällt mir nicht. Du argumentierst doch irgendwie mit der Aussage, die du gerade zeigen willst, oder? Du weißt aber, dass jede Teilfolge von

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

dann schon gegen den Grenzwert konvergiert, also ist er der einzige Häufungspunkt.
Bei "

\Leftarrow

" würde ich es mit einem Widerspruchsbeweis versuchen. Also führe die Aussage, dass

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

nicht gegen seinen einzigen Häufungspunkt konvergiert zum Widerspruch.

gotnoidea aktiv_icon

21:31 Uhr, 23.11.2014

Ah okay, danke erstmal für die schnelle Antwort! Ich versuchs erstmal mit "=>", und setz mich gleich an "<="..

"=>"
Sei

a_{n}

eine reelle, konvergente Zahlenfolge mit

a_{n} \to a

für

n \to \infty

. Nach Satz

7.2

ist jede konvergente Zahlenfolge beschränkt. Da die Folge

a_{n}

konvergent ist, konvergieren alle Teilfolgen von

a_{n}

gegen den selben Wert

a

. Damit existiert nur genau ein Häufungspunkt (der gleichzeitig Grenzwert von

a_{n}

ist)

zu "<=" habe ich prinzipiell eine Frage..
"..würde ich es mit einem Widerspruchsbeweis versuchen. Also führe die Aussage, dass

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

nicht gegen seinen einzigen Häufungspunkt konvergiert zum Widerspruch"

wie kommst du auf diese Aussage? die Aussage "<=" ist ja:

"Ist eine Folge beschränkt und besitzt einen Häufungspunkt, so ist sie konvergent" und nicht "..so konvergiert sie gegen diesen HP"..oder?

Und wenn ich nun einen Widerspruchsbeweis führen möchte, reicht es, anzunehmen, dass mehrere Häufungspunkte existieren und die Folge beschränkt ist? Ich kann mir den Hergang des Widerspruchsbeweises momentan leider schwer vorstellen..

: - (

Danke und LG

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22:06 Uhr, 23.11.2014

Schon. Aber die Beweisidee ist natürlich, zu zeigen, dass die Folge dann schon gegen ihren einzigen Häufungspunkt konvergiert. Und das will ich über einen Widerspruchsbeweis zeigen. Wir haben also, dass

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

beschränkt und bezeichnen den einzigen Häufungspunkt mit

a

. Angenommen

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

konvergiert nicht gegen

a,

dann:

\exists ε_{0} > 0 \forall N \in ℕ \exists n \geq N : | a_{n} - a | \geq ε_{0}

(hier hab ich einfach nur die Definition der Konvergenz negiert)
Überlege mal wie du nun damit weitermachen kannst (Tipp: Teilfolge basteln mit bestimmter Eigenschaft)

gotnoidea aktiv_icon

22:41 Uhr, 23.11.2014

Ok..ich habe jetzt überlegt, weiß aber nicht richtig, wie ich eine "spezielle" Teilfolge basteln soll, damit sich ein Widerspruch ergibt..

Daraus, dass

{a_{n}}_{n \in ℕ}

den Häufungspunkt a besitzt, folgt, dass es eine Teilfolge

{a_{n_{k}}}_{k \in ℕ}

gibt, die ebenfalls gegen a konvergiert,

d . h

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ : \forall n \geq N : | a_{n_{k}} - a | < ε

Komme hier leider nicht weiter..

Shipwater aktiv_icon

22:56 Uhr, 23.11.2014

N = 1

gibt es ein

n_{1} \geq 1

mit

| a_{n_{1}} - a | \geq ε_{0}

N = n_{1} + 1

gibt es ein

n_{2} \geq n_{1} + 1

(also

n_{2} > n_{1})

mit

| a_{n_{2}} - a | \geq ε_{0}

N = n_{2} + 1

gibt es ein

n_{3} \geq n_{2} + 1

(also

n_{3} > n_{2})

mit

| a_{n_{3}} - a | \geq ε_{0}

Induktiv erhältst du eine Teilfolge mit

| a_{n_{k}} - a | \geq ε_{0}

für alle

k \in ℕ

.
Als Teilfolge einer beschränkten Folge ist

{(a_{n_{k}})}_{k \in ℕ}

selbst beschränkt, hat also einen Häufungspunkt (Bolzano-Weierstraß). Überlege dir warum nur

a

dieser Häufungspunkt sein kann und warum das ein Widerspruch zu "

| a_{n_{k}} - a | \geq ε_{0}

für alle

k \in ℕ

" ist. Das war es dann schon.

gotnoidea aktiv_icon

23:19 Uhr, 23.11.2014

Dadurch dass

{a_{n}}

den einzigen Häufungspunkt a besitzt, kann die Teilfolge

{a_{n_{k}}}

(die auch einen Häufungspunkt hat) nur ebenfalls den selben Häufungspunkt a besitzen.

D . h .,

dass

| a_{n_{k}} - a | < ε

mit

n \geq N

für hinreichend großes

N

das letzte kommt mir schon sehr inkonsistent, wenn nicht gar falsch, vor.. bin ich auf dem richtigen Weg?

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23:39 Uhr, 23.11.2014

So ganz richtig bist du nicht unterwegs. Also erstere Zeilen stimmen, aber das ist in meinen Augen auch nicht ausreichend sauber begründet. Hätte

{(a_{n_{k}})}_{k \in ℕ}

einen von

a

verschiedenen Häufungspunkt

b,

so gäbe es eine Teilfolge von

{(a_{n_{k}})}_{k \in ℕ}

die gegen

b

konvergiert. Da Teilfolgen von Teilfolgen aber auch schon Teilfolgen der ursprünglichen Folge sind, wäre

b

auch Häufungspunkt von

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

was aber den Voraussetzungen widerspricht. Wegen

| a_{n_{k}} - a | \geq ε_{0}

für alle

k \in ℕ

kann

a

aber kein Häufungspunkt von

{(a_{n_{k}})}_{k \in ℕ}

sein. Denn für

ε := ε_{0}

müsste es ansonsten unendlich viele

k \in ℕ

geben mit

| a_{n_{k}} - a | < ε_{0}

. Die Teilfolge ist allerdings so konstruiert, dass es nichtmal ein einziges

k \in ℕ

mit dieser Eigenschaft gibt!

gotnoidea aktiv_icon

00:02 Uhr, 24.11.2014

Also im Prinzip ist der Beweishergang:

a_{n}

(beschränkt, besitzt genau einen HP) nicht konvergent

\to

Teilfolgen

a_{n_{k}}

beschränkt, besitzen ebenfalls HP

\to

a_{n_{k}}

wegen

| a_{n_{k}} - a | \geq ε

für alle

k \in ℕ

keinen Häufungspunkt besitzen kann muss

a_{n}

konvergent sein.

..kurz und unvollständig, nur um des Verständnisses Willen, zusammengefasst?

Danke für die anschauliche und hilfreiche Unterstützung!

Shipwater aktiv_icon

09:41 Uhr, 24.11.2014

Ja, so kann man das kurz beschreiben. An dieser Stelle sollte man sich davon überzeugen, dass die Beschränktheit auch wirklich gebraucht wird. Also dass es unbeschränkte (und damit nicht konvergente) Folgen mit genau einem Häufungspunkt geben kann. Standardbeispiel ist

0,1,0,2,0,3,0,4, . .

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