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Konvergenzradien folgender Potenzreihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenzbereich, Konvergenzradius, Potenzreihe, Randpunkt, reih

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19:34 Uhr, 14.01.2017

Ich hänge an einer Kleinigkeit bei folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender Potenzreihen:

a)

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n + 1}

1 + \frac{1}{2} x + \frac{1 * 3}{2 * 4} x^{2} + \frac{1 * 3 * 5}{2 * 4 * 6} x^{3} + . . .

Ich poste mal mein Ergebnis zur a) bevor ich meine Frage zur b) stelle:

a)
- als erstes bringe ich die Potenzreihe auf die allgemeine Form:

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}

, damit ich das Quotientenkriterium anwenden kann:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} * x^{n}

,also entspricht die Folge

a_{n} = \frac{1}{n}

- Dann setze ich die Folge in:

r = lim_{n \to \infty} ∣ \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} ∣

ein und rechne damit den Konvergenzradius aus:

r = lim_{n \to \infty} ∣ \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} ∣ = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n + 1}} = lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n} = lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} + \frac{1}{n} = 1 + 0 = 1

- Jetzt weiß ich schonmal dass die Reihe für

∣ x ∣ < 1

konvergiert, jetzt muss ich nur noch die Randpunkte, also

x = 1

und

x = - 1

ausrechnen, dies mache ich wie folgt:

x = 1 : \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1^{n}}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + . .

=> Für

x = 1

ist die Reihe divergent (sagt man das so?), da sie in dem Fall einer harmonische Reihe entspricht und die ja bekanntlich divergiert

x = - 1 : \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{- 1^{n}}{n} = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + . . .

=> Für

x = - 1

ist die Reihe also auch divergent

=> Der Konvergenzradius der Reihe beträgt also

- 1 < r < 1

b) falls bis jetzt alles korrekt ist, dann komme ich nun zu meiner eigentlichen Frage:

Wie bringe ich den Term

x^{2 n + 1}

auf die allgemeine Form für Potenzreihen:

a_{n} x^{k}

, damit ich damit arbeiten kann?

Bis jetzt fällt mir nur folgendes Potenzgesetz ein:

x^{2 n + 1} = x^{2 n} * x^{1}

, aber das bringt mich ja auch nicht wirklich weiter.

Also wie macht man es richig?

Über jegliche Form von Tipps wäre ich wie immer sehr dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

19:44 Uhr, 14.01.2017

Hallo,

die Reihe zu a) konvergiert auch für

x = - 1

nach dem Leibnizkriterium.

Bei b) kann man sicher festhalten, dass die Reihe ebenfalls für

∣ x ∣ < 1

konvergiert (gegen geometrische Reihe als konvergenter Majorante abschätzen).
Auch unstrittig ist, dass sie aber für

x = \pm 1

divergiert, woraus sich der Konvergenzradius

ρ = 1

ergibt.

War's das, was du wissen wolltest?

Mfg Michael

benaddict aktiv_icon

19:58 Uhr, 14.01.2017

Hallo :-)

Danke für den Hinweis mit dem Leibniz-Kriterium, hatte da gar nicht dran gedacht.

"War's das, was du wissen wolltest?"
ich bin mir nicht sicher.

Kann man diese Reihe also nicht mit dem Quotienten- oder Wurzelkriterium auf ihren Konvergenzradius überprüfen und nimmt daher das Majorantenkriterium oder ist es einfach bequemer?

Ehrlich gesagt wüsste ich jetzt grad auch gar nicht, wie ich die gegebene Reihe mit der Geometrischen Reihe abschätzen könnte.

michaL aktiv_icon

20:27 Uhr, 14.01.2017

Hallo,

> oder ist es einfach bequemer?

Oder das.

> Ehrlich gesagt wüsste ich jetzt grad auch gar nicht, wie ich die gegebene Reihe mit der Geometrischen Reihe
> abschätzen könnte.

Na,

x^{2 n + 1} \leq x^{2 n} + x^{2 n + 1}

und daher

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n + 1} \leq \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}

für

x \geq 0

. Analog für

x < 0

.

Mfg Michael

benaddict aktiv_icon

20:44 Uhr, 14.01.2017

Die Dreiecksungleichung

x^{2 n + 1} \leq x^{2 n} + x^{2 n + 1}

verstehe ich nicht.

Aber ich könnte mir deinen Tipp so erklären:

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n + 1} = x + x^{3} + x^{5} + x^{7} + . . .

und

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + . . .

mit dem Majorantenkriterium folgt:

∣ \sum_{n = m}^{\infty} a_{n} ∣ \leq \sum_{n = m}^{\infty} b_{n}

∣ \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n + 1} ∣ \leq \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}

Stimmt das?

michaL aktiv_icon

20:47 Uhr, 14.01.2017

Hallo,

im Wesentlichen korrekt.

Mfg Michael

benaddict aktiv_icon

20:51 Uhr, 14.01.2017

ok vielen Dank.

Dann rechne ich jetzt mal weiter und poste später mein Ergebnis :-)

Edit:

Ich glaube ich verstehe jetzt was du mit

x^{2 n + 1} \leq x^{2 n} + x^{2 n + 1}

meinst,
es handelt sich dabei gar nicht um eine Dreiecksungleichung sondern der Ausdruck bedeutet in etwa, dass alle ungeraden Zahlen kleiner gleich allen geraden Zahlen plus allen ungeraden Zahlen sind, was

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}

ja vereinigt.

Meine Lösung:

b)

∣ \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n + 1} ∣ \leq \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} * 1

a_{n} = 1

und

a_{n + 1} = 1

r = lim_{n \to \infty} ∣ \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} ∣ = lim_{n \to \infty} \frac{1}{1} = 1

Die Reihe konvergiert also wieder für

∣ r ∣ < 1

Randpunkte:

x = - 1 : \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} = 1 - 1 + 1 - 1 + . . .

=> Für x=-1 ist die Reihe divergent (oder ist sie nach dem Leibnizkriterium wieder konvergent? Wir haben es leider nicht durchgenommen und auch nicht in unserem Skript)

x = 1 : \sum_{n = 0}^{\infty} (1)^{n} = 1 + 1 + 1 + 1 + . . .

=> Für x=1 ist die Reihe sogar bestimmt divergent

=> Der Konvergenzradius beträgt also wieder (mindestens? -Majorantenkriterium)

- 1 < r < 1

ledum aktiv_icon

22:38 Uhr, 14.01.2017

Hallo

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n + 1} = x \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n} = x \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}

mit

z = x^{2}

.
Gruß ledum

benaddict aktiv_icon

01:59 Uhr, 16.01.2017

Danke ledum,
dann war mein erster Gedanke mit dem Potenzgesetz wohl doch nicht so weit hergeholt.

Substitution:

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n + 1} = x * \sum_{n = 0}^{\infty} x^{2 n} = x * \sum_{n = 0}^{\infty} z^{n}

mit

z = x^{2}

Mit

a_{n} = 1

und

a_{n + 1} = 1

folgt:

r = lim_{n \to \infty} \frac{∣ a_{n} ∣}{∣ a n + 1 ∣} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{1} = 1

Für x=1 und x=-1 folgt wie oben beschrieben Divergenz

Also ist der Konvergenzradius nach dieser Rechnung, wenn ich sie denn richtig angewandt habe und rücksubstituiere:

- 1 < x^{2} < 1

, korrekt?

Aber in dem Fall habe ich den Vorfaktor x, der ja nun vor der Summe steht gar nicht berücksichtigt.

Bei der c) bin ich noch dabei rauszufinden, wie ich die Reihe als Summe darstellen kann.
Im Zähler des Bruchs stehen ja nur ungerade Zahlen und im Nenner nur gerade, da bei jedem Schritt eine dieser Zahlen dazumultipliziert wird, handelt es sich wohl um Fakultäten.

Als Term der Zahlen hervorbringt, die dem Wert der ungeraden Zahlenfolge entsprechen, habe ich:

\frac{(2 n + 1)!}{2^{n} * n!)} = 1 + 3 + 15 + . . .

Für die geraden habe ich z.B:

n! * 2

Aber ich schaffe es nicht dass alles unter einen Hut zu bringen und eine Summenformel aufzustellen die die gegebene Reihe liefert.

Naja, ich sitz jetzt schon viel zu lange daran, notfalls lasse ich die Teilaufgabe halt aus.

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