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Konvergenzradius berechnen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

robert987 aktiv_icon

16:06 Uhr, 14.05.2021

Zu den Potenzreihen

\sum_{k = 1}^{\infty} (α + 1)^{k} z^{2 k}

und

\sum_{k = 1}^{\infty} (1 - \frac{α}{k})^{k * k} (- 1 + z)^{k}

soll der Konvergenzradius berechnet werden:
Zu 1.: mit Wurzelkriterium und Substitution mit

u^{k} = z^{2} k

:
Also

\sum_{k = 1}^{\infty} (α + 1)^{k} u^{k}

d ʹ = l i m s u p_{k \to \infty} \sqrt[k]{∣ (α + 1)^{k} ∣} = l i m s u p_{k \to \infty} ∣ α + 1

| =

∣ α + 1

|
Resubtituieren: d=

\sqrt{∣ α + 1 ∣}

Fallunterscheidung: Für

α = - 1

ist

R = \infty

und für

α \neq - 1

ist

R = \frac{1}{\sqrt{∣ α + 1 ∣}}

Zu 2: auch Wurzelkriterium:

d = l i m s u p_{k \to \infty} \sqrt[k]{∣ (1 - \frac{α}{k})^{k * k} ∣} = l i m s u p_{k \to \infty} ∣ (1 - \frac{α}{k})^{k}

| =

e^{- α}

R = \frac{1}{e^{- α}} = e^{α}

Habe ich das so richtig gemacht, vor allem mit der Fallunterscheidung bei 1.?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:47 Uhr, 14.05.2021

Hallo,

ja, sieht gut aus.

Gruß pwm

N8eule

18:23 Uhr, 14.05.2021

Hallo
Ich ahne, was du sagen willst.
Darf ich dennoch vorschlagen:
zu

1)

\sum {(α + 1)}^{k} \cdot z^{2 \cdot k} = \sum {[(α + 1) \cdot z^{2}]}^{k}

Damit konvergent für:

| (α + 1) \cdot z^{2} | < 1

(Begründung: geometrische Reihe)

zu

2)

\sum {(1 - \frac{α}{k})}^{k \cdot k} \cdot {(z - 1)}^{k} = \sum {[{(1 - \frac{α}{k})}^{k} \cdot (z - 1)]}^{k}

lim_{k \to \infty} {(1 - \frac{α}{k})}^{k} = e^{- α}

\sum {[lim_{k \to \infty} {(1 - \frac{α}{k})}^{k} \cdot (z - 1)]}^{k} = \sum {[e^{- α} \cdot (z - 1)]}^{k}

Damit konvergent für:

| e^{- α} \cdot (z - 1) | < 1

(Begründung (wiederum): geometrische Reihe)

Du scheinst bei deinen Angaben davon auszugehen, dass

α

eine bekannte Konstante ist, und

' z'

die Konvergenz-(Radien)-bestimmende Variable.
Zumindest aus dem hier Gesagten ist das aber nicht ersichtlich.
Vielleicht hast du weitere Aufgaben-Angaben, die du hier nicht verraten hast?

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