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Konvergenzradius einer Taylor-Reihe

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Konvergenz einer Reihe, Konvergenzradius, Taylorreihe

renovatio aktiv_icon

17:03 Uhr, 01.05.2013

Folgende Aufgabe soll gelöst werden:

f (x) = \sqrt{1 + 2 x}

soll als Potenzreihe entwickelt werden und zudem der Konvergenzradius angegeben werden.

f (x) = {(1 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}

f (x) = 1 + x - \frac{1}{2} + x^{2} + \frac{1}{2} \cdot x^{3} + . .

.

Soweit, so gut. Doch wie wird nun der Konvergenzradius bestimmt?

Mein Ansatz ist folgender:

r = lim | \frac{a (n)}{a (n + 1)} | = \frac{\sqrt{1 + 2 n}}{\sqrt{1 + 2 n + 1}} = \sqrt{\frac{1 + 2 n}{2 + 2 n}}

So komme ich dem Ergebnis

r = \frac{1}{2}

aber irgendwie nicht näher ;-)
Bitte helft mir

. .

lepton

17:16 Uhr, 01.05.2013

Wo ist deine explizite Potenzreihe? Ich sehe nur, dass du x einfach durch n ersetzt hast um den K-radius r zu berechnen. Wie kommst du auf so etwas? Für r brauchst du doch die Koeffizienten deiner Potenzreihe!

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18:11 Uhr, 01.05.2013

Wie komme ich denn auf eine explizite Potenzreihe?
Meinst du sowas wie Summe von

n = 1

bis undendlich von

\frac{x^{n}}{2}

?
Wenn ja dann habe ich keine Ahnung wie ich das bei dieser Funktion hinkriegen soll.

lepton

18:54 Uhr, 01.05.2013

Du musst logischerweise deine Fkt. f vorher in eine Potenzreihe entwickeln. Und danach aus den Koeffizienten der PR den K-radius r bilden. Was PR angeht, hilft hier das Stichwort: binomische Reihe.
http//www.onlinemathe.de/forum/Potenzreihe-aus-Wurzelfunktion-entwickeln

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10:19 Uhr, 03.05.2013

So, habe mir den Link jetzt mal angesehen und mir das Thema binomische Reihe angeguckt.

Demnach gilt bei

{(1 + x)}^{m} = (\frac{m}{n}) x^{n}

(<--Der Bruchstrich gehört da nicht hin)
Wenn ich nun meine Werte einsetze komme ich auf:

(\frac{0,5}{n}) 2 x^{n}

Und daraus soll nun der Konvergenzradius bestimmt werden?

Respon

11:04 Uhr, 03.05.2013

Analysiert man die Koeffizienten der Reihe genauer, so erkennt man ( OHNE Berücksichtigung des Vorzeichens, da dieses wegen des Betrages irrelevant ist

) :

a_{n} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2 \cdot n - 1)}{n!} \cdot x^{n}

bzw.

a_{n + 1} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2 \cdot n - 1) \cdot (2 \cdot n + 1)}{(n + 1)!} \cdot x^{n + 1}

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = | \frac{(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2 \cdot n - 1) \cdot (2 \cdot n + 1)) \cdot n! \cdot x}{(1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2 \cdot n - 1)) \cdot (n + 1)!} | = | \frac{(2 \cdot n + 1) \cdot x}{n + 1} | = \frac{2 \cdot n + 1}{n + 1} \cdot | x |

Bei Konvergenz muss gelten:

\frac{2 \cdot n + 1}{n + 1} \cdot | x | < 1 \Rightarrow | x | < \frac{n + 1}{2 \cdot n + 1}

lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{2 \cdot n + 1} = lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{2}

\Rightarrow

Konvergenz für

| x | < \frac{1}{2}

Respon

11:19 Uhr, 03.05.2013

Kleine Ergänzung bezüglich Koeffizienten:

f (x) = {(1 + 2 \cdot x)}^{\frac{1}{2}}

f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 + 2 \cdot x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \Rightarrow f' (0) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3}{2}) \cdot {(1 + 2 \cdot x)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 2 \cdot 2 \Rightarrow f'' (0) = - 1 \cdot 3

f''' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3}{2}) \cdot (- \frac{5}{2}) \cdot {(1 + 2 \cdot x)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \Rightarrow f''' (0) = + 1 \cdot 3 \cdot 5

usw.

renovatio aktiv_icon

12:19 Uhr, 03.05.2013

Vorweg vielen Dank für diese geniale Ausarbeitung.
Über eine Sache bin ich dabei allerdings gestolpert.
Zur Bestimmung des Konvergenzradius steht in meinem Buch folgende Formel:

r = lim (\frac{a (n)}{a (n + 1)}),

bei dir steht das aber als Kehrwert und ich verstehe nicht weshalb.

Respon

13:08 Uhr, 03.05.2013

Siehe de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Quotientenkriterium

Respon

13:23 Uhr, 03.05.2013

Respektive etwas genauer bezogen auf unser Beispiel.
In der von dir genannten Formel bedeuten

a_{n + 1}

und

a_{n}

die Koeffizienten des

n

.ten bzw. (n+1).ten Gliedes in der Reihe.

| \frac{a_{n + 1} \cdot x}{a_{n}} | < 1

Quotientenkriterium

\Rightarrow | x | < | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} |

Durch die Umformung ist aus dem Zähler der Nenner geworden und umgekehrt.

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