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Konvergenzradius richtig bestimmen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: divergenz, Folgen und Reihen, Konvergenz, Potenzreihe, Radius

smopulm aktiv_icon

15:10 Uhr, 31.05.2015

Hallo, ich bin Student an einer Hochschule und hier ist mein erster Post:

Ich habe eine Aufgabe zu Potenzreihen die ich nur teilweise lösen kann. Meine Lösungen stehen jeweils unter den Fragen, ggf. daneben die vermeintlich korrekten Lsg:

Aufgabe:
Gegeben ist die Potenzreihe ∑(k+2)2kk+3(2x+4)k.

Bestimmen Sie die Entwicklungsstelle

x 0

der Potenzreihe.
Meine Lsg

- 2

Berechnen Sie den Konvergenzradius

r

der Potenzreihe.
Meine Lsg 1 wegen r=lim(k->inf) |ak/(ak+1)| müsste

(\frac{1}{4})

linker Randpunkt (kleinerer Wert):
meine Lsg

- 3

müsste

(- \frac{9}{4})

rechter Randpunkt (größerer Wert):
meine Lsg

- 1 (- \frac{7}{4})

Reihe am linken Randpunkt konvergent oder divergent?
meine Lsg divergent

Reihe am rechten Randpunkt konvergent oder divergent?
meine Lsg divergent

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

17:33 Uhr, 31.05.2015

Hallo
ich kann deine Reihe nicht entziffern und deshalb auch nicht sinnvoll antworten. bitte schreib sie so auf, das du sie selbst lesen kannst, wenn du sie nicht kenntest.
Gruß ledum

smopulm aktiv_icon

08:33 Uhr, 01.06.2015

Sorry war ein copy paste Fehler und beim drüberschaeun ist mir nichts aufgefallen.
Der Formeleditor funktioniert bei mir nicht und Latex beherrsche ich nicht, hoffe es geht so:

∑((k+2)*2^k)/(3+k)*(2x+4)^k

also Summe ((((k+2)mal 2 hoch

k)

geteilt durch

(3

plus

k))

mal

((2 x

plus 4)hoch

k))

Besten Dank

pwmeyer aktiv_icon

11:14 Uhr, 01.06.2015

Hallo,

ich schreibe mal hin, was ich zu erkennen glaube:

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k + 2}{k + 3} \cdot 2^{k} \cdot {(2 \cdot x + 4)}^{k}

Dann ist der Konvergenzradius in der Tat

\frac{1}{4}

.

Gruß pwm

Atlantik aktiv_icon

11:28 Uhr, 01.06.2015

Zur Schreibweise:

Ich schreibe alles im Textmodus. In der Vorschau siehst du dann, wie es erscheint.

Außerdem gibt es da noch den Button:- Wie schreibt man Formeln?

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k + 2}{k + 3} \cdot 2^{k} {(2 x + 4)}^{k}

mfG

Atlantik

smopulm aktiv_icon

11:51 Uhr, 01.06.2015

Ja pwm so sollte es aussehen aber wieso komm ich da auf 1und du auf

\frac{1}{4}

?
Verwendete Formel

lim_{k \to \infty}

|ak/ak+1|

sorry das mit den Betragsstrichen gibts wohl nicht bei formelvorlagen

ak ist doch was vor der klammer steht?

also

\frac{k + 2}{k + 3} \cdot 2^{k}

Respon

12:03 Uhr, 01.06.2015

Also falls das die Summe ist

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{k + 2}{k + 3} \cdot 2^{k} \cdot {(2 \cdot x + 4)}^{k}

Konvergenz für

| x + 2 | < \frac{1}{4}

smopulm aktiv_icon

12:06 Uhr, 01.06.2015

@ respon, also muss der klammerterm so vereinfacht werden das kein faktor vor dem

x

steht (bzw

1 x)

Roman-22

13:35 Uhr, 01.06.2015

Selbst mit deinem

a_{k}

müsstest du auf

\frac{1}{2}

und nicht auf 1 kommen. Wo du den Fehler machst kann man nicht sagen, da du deine Rechnung nicht angibst.

a_{k}

sollte immer der Koeffizient von

{(x - x_{0})}^{k}

sein, wobei

x_{0}

die Entwicklungsstelle ist.

Hier gilt wegen

{(2 x + 4)}^{k} = 2^{k} \cdot {(x + 2)}^{k}

also

a_{k} = \frac{k + 2}{k + 3} \cdot 2^{2 k}

smopulm aktiv_icon

14:22 Uhr, 02.06.2015

@Roman,

Rechnung wie vorher gepostet

lim_{k \to \infty}

|ak/ak+1|

mit

ak

= \frac{k + 2}{k + 3} \cdot 2^{k}

folgt

lim_{k \to \infty} | \frac{\frac{k + 2}{k + 3} \cdot 2^{k}}{\frac{k + 2}{k + 3} \cdot 2^{k} + 1} |

r

wäre dann ja

\frac{1}{2}

ist laut Lsg aber falsch ; Lsg:

r = \frac{1}{4}

ich denke da ist der Fehler, ich werd aber nicht ganz schlau aus Formelsammlung und den zahlreichen Antworten.

Gruß

ledum aktiv_icon

01:03 Uhr, 03.06.2015

Hallo

\frac{1}{2}

wäre der KR wenn da

a_{k} \cdot (x + 2)

stünde da steht aber

a_{k} \cdot (2 x + 4)

Gruß ledum

smopulm aktiv_icon

11:24 Uhr, 03.06.2015

OK, denke ich habs verstanden. Danke

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