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Konvergenzverhalten von (k!)^(1/k)

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Fakultät, Funktionenreihen, Konvergenz, Konvergenzverhalten, reih, Wurzelkriterium

Opaque

19:47 Uhr, 05.10.2018

Guten Abend,

In meinem Studium wurde das Konvergenzverhalten von

{(k!)}^{\frac{1}{k}}

besprochen, nur ist das leider lange her.
Nun versuche ich Die Konvergenz der reihe ak

= \frac{sin (k)}{k!}

mit dem Majoranten

+

Wurzelkriterium zu beweisen
mit der Voraussetzung |ak|

= \frac{| sin (k) |}{k!} \leq \frac{1}{k!}

habe ich nun eine Reihe, die als Majorante dient.

Beim Wurzelkriterium komme ich jedoch nicht weiter als

\frac{1}{{(k!)}^{\frac{1}{k}}}

.
ich könnte natürlich

k

ausklammern und wäre bei

\frac{1}{{((k - 1)!)}^{\frac{1}{k}}}

jedoch bezweifle ich das dieser Weg sinnvoll ist.

Gibt es hierbei einen Trick? oder reicht es zu sagen das

lim

(k->inf) = 1/inf

Ich Hoffe ich habe mich halbwegs verständlich ausgedrückt und bedanke mich schon mal für die Hilfe.

(Leider habe ich nichts in den Vorhandenen Threads gefunden das mir weitergeholfen hat.)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

20:22 Uhr, 05.10.2018

Hallo,
nimm doch das Quotientenkriterium,
um die Konvergenz deiner Majorante zu zeigen.
Gruß ermanus

Opaque

21:54 Uhr, 05.10.2018

ja das Quotientenkriterium ist um einiges angenehmer in diesem Fall.

Ich habe nur das Problem das ich eine Aufgabe vor mir habe in der ausdrücklich nach dem Wurzelkriterium verlangt wird. Und im Lösungsweg, der beiliegt, dieser Part nur auf die Vorlesung verweist.
Also habe ich angenommen das es einen Weg gibt das Wurzelkriterium zu nutzen.

michaL aktiv_icon

00:05 Uhr, 06.10.2018

Hallo,

ich musste schon ein bisschen suchen und habe auch Integralrechnung verwendet. Aber mir ist eine Abschätzung gelungen, sodass hier auch die Konvergenz durch Wurzelkriterium gelingt.

Zunächst einmal verwende ich

H_{k} := \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}

für die harmonische Summe.
Wegen der Ungleichung zwischen arithmetischen, geometrischen und harmonischen Mittel gilt etwa

\frac{k}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{k}} \leq^{k} \sqrt{1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k}

oder mit den Abkürzungen:

\frac{k}{H_{k}} \leq^{k} \sqrt{k!}

Als Kehrwerte:

\frac{1}{^{k} \sqrt{k!}} \leq \frac{H_{k}}{k}

Mit Hilfe der Integralrechung leitet man für

k \geq 2

leicht

H_{k} \leq 1 + \ln (k)

her,

^{[1]}

woraus sich

\frac{1}{^{k} \sqrt{k!}} \leq \frac{1 + \ln (k)}{k}

ergibt.

Daraus Konvergenz gegen Null und damit Konvergenz der Majorante abzuleiten, sollte nun nicht mehr allzu schwer fallen.

Mfg Michael

Links:
[1] www.thi.informatik.uni-frankfurt.de/%7ejukna/BUCH/kap6c.pdf

Opaque

00:34 Uhr, 06.10.2018

Ok hat ein bisschen gedauert um das nachzuvollziehen, aber das beantwortet meine Frage.
Vielen dank.

Jedoch stellt sich mir jetzt eine andere kleine Frage.
Kann man immer davon ausgehen das das Geometrische Mittel größer ist als das Harmonische?
Natürlich im Falle das alle Werte positiv und ungleich 0 sind.

michaL aktiv_icon

01:10 Uhr, 06.10.2018

Hallo,

ja, sofern alle Werte reell und größer Null sind.

Beweis kann wie folgt geschehen:
(1) Beweis von:

a_{1}, \dots, a_{n} > 0

reelle Zahlen mit

Π_{k = 1}^{n} a_{k} = 1

\Rightarrow

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} \geq n

(2) Aus (1) folgt mit

g :=^{n} \sqrt{a_{1} \cdot \dots \cdot a_{n}}

wegen

Π_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{g} = 1

\sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{g} \geq n \overset{}{\Leftrightarrow} g \leq \frac{a_{1} + \dots + a_{n}}{n}

Das ist die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischen Mittel.
(3) Gehst du in (2) zu den Kehrwerten über (d.h. aus

a_{i}

mache

\frac{1}{a_{i}}

), so lautet die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischen Mittel (also (2) mit Kehrwerten):

^{n} \sqrt{\frac{1}{a_{1}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{a_{n}}} \leq \frac{\frac{1}{a_{1}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}}{n}

Der Kehrwert dieser Ungleichung ist die Ungleichung aus geometrischen und harmonischem Mittel.

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

10:43 Uhr, 06.10.2018

Hallo Opaque, hallo Michael,
das war eine sehr interessante Aufgabe und eine sehr lehrreiche Lösung,
in der man etwas über den Zusammenhang zwischen arithmetischem und
geometrischem Mittel sowie zwischen natürlichem Logarithmus und
der harmonischen Reihe erfahren konnte.
Doch hat mich der Ergeiz gepackt zu schauen, ob es nicht auch
"direkter" geht ;-)

Wir wollen zeigen, dass

\sqrt[n]{n!} \to \infty

für

n \to \infty

.
Sei dazu

r > 1

eine natürliche Zahl, dann gilt für

n > r

\sqrt[n]{n!} = (\sqrt[n]{1} \sqrt[n]{2} \dots \sqrt[n]{r - 1}) (\sqrt[n]{r} \dots \sqrt[n]{n}) \geq 1 \cdot (\sqrt[n]{r})^{n - (r - 1)} = r \cdot \frac{1}{\sqrt[n]{r^{r - 1}}} \to r

für

n \to \infty

. Da

r

beliebig, folgt die Behauptung.

Das war's auch schon ;-)

Gruß ermanus

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