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Konvex/konkav & (semi)definitheit Hessische Matrix

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Hesse Matrix, Konkav, Konvexität

 
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Alex1313

Alex1313 aktiv_icon

23:52 Uhr, 26.09.2018

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Hallo,

ich muss zeigen, dass einige Funktionen konvex sind. Bei höher- und mehrdimensionalen Funktionen habe ich das mit der Hessischen Matrix gezeigt, allerdings stehe ich bei einer recht simplen Funktion auf dem Schlauch.

Es soll gezeigt werden, dass f(x,y)=x+y-3 konvex ist. Nach Recherche sollte es etwas mit der Dreiecksungleichung zu tun haben, aber ich bin mir unsicher, wie man das zeigen könnte.

Könnt ihr kurz folgende Aussagen von mir bestätigen oder ggf. korrigieren?

Hessische Matrix

Wenn H(x) (semi)positiv definit ist, dann ist f(x) konvex.
Wenn H(x) (semi)negativ definit ist, dann ist f(x) konkav.

Positiv definit bedeutet, dass alle Eigenwerte positiv sind. Sollte ein Eigenwert null sein, wäre die Matrix semipositiv definit.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

ermanus aktiv_icon

09:40 Uhr, 27.09.2018

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Hallo,
hier kann man doch die Definition der Konvexität von f unmittelbar
verwenden:
f(λ(x1,y1)+(1-λ)(x2,y2))≤λf(x1,y1)+(1-λ)f(x2,y2).
Setze dort deine Definition von f ein, und du wirst sehen, dass
die Ungleichung nahezu trivial ist.
Gruß ermanus
Alex1313

Alex1313 aktiv_icon

22:35 Uhr, 27.09.2018

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Hallo,

ich wollte es ausprobieren, weiß aber nicht genau was jetzt x1,x2,y1,y2 konkret sein sollen zum Einsetzen. Habe ein totales black out.
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ermanus

ermanus aktiv_icon

23:00 Uhr, 27.09.2018

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Was willst du denn da einsetzen? Du willst doch die Ungeichung für
beliebige (x1,y1),(x2,y2) beweisen.
Fang doch einfach an, die Definition von f zu verwenden!

Die linke Seite der zu beweisenen Ungleichung ist:
f(λ(x1,y1)+(1-λ)(x2,y2))=f(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2)=
=λx1+(1-λ)x2+λy1+(1-λ)y2-3=
=λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)-3(a).

Die rechte Seite der zu beweisenen Ungleichung ist:
λf(x1,y1)+(1-λ)f(x2,y2)=
=λ(x1+y1-3)+(1-λ)(x2+y2-3)(b).

Vieleicht sind ja (a) und (b) dasselbe?
Dann wäre die Ungleichung bewiesen und würde sich in diesem
Falle sogar als Gleichung erweisen.
Frage beantwortet
Alex1313

Alex1313 aktiv_icon

23:26 Uhr, 27.09.2018

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Perfekt, jetzt ist's mir klar geworden - danke.