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Koordinaten eines Punktes einer Ellipse im Raum

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: berechnen, Ellipse, kartesische koordinaten, Punkt(x/y/z), Raum

sanbex

19:08 Uhr, 27.12.2012

Hallo liebe Community!

Ich suche schon seit Tagen nach einer Methode, wie man die (kartesischen) Koordinaten eines Punktes berechnet, der auf einer Ellipse liegt. Die Ellipse liegt im Raum. Das macht es mir so schwierig.

Gegeben habe ich 2 Punkte. Diese sollen wie in der angehängten Zeichnung P und Q heißen und genau ein Viertel der Ellipse markieren. Damit ist also die Länge und die Breite der Ellipse gegeben. Außerdem sind die Koordinaten ganzzahlig, man kann sich das so vorstellen, dass die Ellipse in Blöcke unterteilt ist. Beispiel siehe: donatstudios.com/PixelCircleGenerator .

Gesucht sind alle Punkte B in diesem einen Viertel zwischen P und Q.

Wie kann ich mir anhand der Länge und der Breite nun diese Koordinaten errechnen?

Beispiel2: Bei einer Linie im Raum konnte ich diese Formeln verwenden:

B (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}) = P (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}) + j * (Q (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}) - P (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}))

wobei

j = I n d e x D e s B l o c k s / L ä n g s t e S e i t e

war.

Gibt es bei einer Ellipse eine ähnliche Lösung?

Zweck:
Ein Java-Programm, welches in einer Schleife die ganzen Punkte berechnet.
Vielleicht hilft der Zweck der Sache bei der Lösungssuche weiter.

Ich hoffe die Aufgabenstellung ist nicht allzu schwer und ich hoffe, dass alles verständlich ist.

mfg

PS: a und e sind im Bild falsch beschriftet ist mir gerade aufgefallen...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Capricorn-01 aktiv_icon

19:42 Uhr, 27.12.2012

Ist neben

P

und

Q

auch die Länge von a oder

e

bekannt? Doch auch wenn eine oder beide Halbachsen bekannt sind, fehlt eine Angabe über die Lage der Ellipse. Es gibt unendlich viele Ellipsen die durch

P

und

Q

gehen und die Halbachsen a und

e

haben.

sanbex

22:34 Uhr, 27.12.2012

Meinst du, dass man die Ellipse noch um die Achse drehen könnte, die durch P und Q verläuft? ... Nehmen wir an, diese Rotation um die Achse PQ sei ausgeschlossen.
Bzw kann diese Lage programmtechnisch berechnet werden... Ich kann jedoch momentan nicht mit einem Wert helfen, da ich nicht weiß welche Variable für diese Rotation wichtig ist. Um die Sache nicht unnötig komplex zu machen soll die Halbachse a aus dem Bild immer horizontal sein (wahlweise auch vertikal). Ich denke dadurch ergibt sich nur eine mögliche Ellipse, oder?

Die Länge von a ist ja durch die Punkte gegeben. Diese kann berechnet werden...
Da sich ausschließen lässt, dass sich die Z-Koordinate bei a verändert, wäre hier die Länge von a abhängig von Q und M, oder?

x von M (Mittelpunkt) wäre x von P, da e durch M und P verläuft, also 2.
y von M wäre y von Q, da a durch M und Q verläuft, hier 14.
z von M wäre = z von Q (oder z von P), da wir angenommen haben, dass a entweder horizontal, oder vertikal verläuft, also 13.

a^{2} = (x_{Q} - x_{M})^{2} + (y_{Q} - y_{M})^{2} = (15 - 2)^{2} + (14 - 14)^{2} = \underline{\underline{13}} .

Es ist sinnvoll festzulegen (oder vielleicht ist es einfach so?), dass a außerdem parallel zu x oder y verläuft. Wie man im vorgerechneten Beispiel erkennt, fällt 14-14 weg und es ist somit automatisch festgelegt zu welcher Achse a parallel verläuft.

Hab ich wo Denkfehler reingebracht?

Ich hoffe damit können wir weitermachen...

mfg

Capricorn-01 aktiv_icon

23:32 Uhr, 27.12.2012

Ich würde die Ellipse in die xy-Ebene projizieren und dort mit Hilfe der Parameterform rechnen

x = a \cdot cos (t)

y = b \cdot sin (t)

z

erhältst Du dann, indem Du je nach dem wie das a liegt den

x

oder y-Wert mit dem Tangens des Neigungswinkels der Ellipsen-Ebene multiplizierst.
Ganzzahlige Werte: Du lässt

x,

bzw.

y

bzw

z

über eine Schleife laufen und rechnest die anderen Koordinaten über

t

aus.
Es werden sich bestimmt nur ausnahmsweise ganzzahlige Koordinaten ergeben.

sanbex

00:25 Uhr, 28.12.2012

Vielen Dank für die schnelle Antwort!!

Ich werds mir morgen mal ansehen, und mich gegebenenfalls nochmal melden, falls ichs nicht kapiert hab ;-)
Jedenfalls denke ich, dass ich den Lösungsansatz bis dato richtig interpretiert hab^^.

Das ist klar, dass hier nix ganzzahliges rauskommt, das wird einfach gerundet und fertig...

mfg

Bummerang

08:27 Uhr, 28.12.2012

Hallo,

wenn nur die beiden Punkte

P

und

Q

gegeben sind, dann kannst Du eine Kugel um den Mittelpunkt der Strecke

\bar{P Q}

so konstruieren, dass

P

und

Q

auf der Kugeloberfläche liegen. Jetzt kannst Du Die einen beliebigen anderen Punkt

O

der Oberfläche nehmen und die Kugel mit der durch

P, Q

und

O

gehenden Ebene schneiden. Dann erhältst Du einen Kreis mit Durchmesser

\bar{P Q}

und einem beliebigen Punkt

O

auf dem Kreis. Das ist die klassische Thales-Kreis-Figur,

d . h

. das Dreieck PQO ist rechtwinklig mit rechtem Winkel im Punkt O. Definiere nun

O

als den Mittelpunkt Deiner Ellipse und Du hast eine eindeutige Ellipse erzeugt. Dumm nur, dass die Wahl von

O

nur durch die Lage auf der Kugeloberfläche eingeschränkt wurde und es demzufolge unendlich viele Punkte

O

gibt, die zusammen mit

P

und

Q

alle eine andere Ellipse erzeugen!

Bei einem Kreis braucht man zur eindeutigen Bestimmung 3 Punkte in einer Ebene (diese bilden ein Dreieck und der gesuchte Kreis ist der Umkreis des Dreiecks), ein Kreis ist eine spezielle Ellipse, bei der beide Halbachsen gleich lang sind. Wenn eine allgemeine Ellipse aus nur 2 Punkten konstruierbar wäre, dann sollte es doch wohl auch der Kreis sein, oder?

sanbex

23:34 Uhr, 28.12.2012

@Capricorn-01:
[Zitat]
z erhältst Du dann, indem Du je nach dem wie das a liegt den x oder y-Wert mit dem Tangens des Neigungswinkels der Ellipsen-Ebene multiplizierst.
---

x oder y mit Tangens des Neigungswinkels ergibt eigentlich ja keinen Sinn:

Steigung

k = \frac{z}{x o d e r y}

Der Neigungswinkel ist ja der Arkustangens von k.
Du hast also geschrieben:

(x o d e r y) * t a n (α) = (x o d e r y) * t a n (a r c t a n (k))

Daraus folgt:

z = (x o d e r y) * \frac{z}{x o d e r y} = z

???

Bitte nochmal erklären, hab ich mich da wo vertan?

mfg

Capricorn-01 aktiv_icon

07:15 Uhr, 29.12.2012

Wenn

e

parallel zu

x

verläuft, erhältst Du für

k = tan (φ) = \frac{z_{M} - z_{P}}{y_{M} - y_{P}} = \frac{9}{11}

sanbex

14:58 Uhr, 29.12.2012

Eine Ellipse hab ich jetz hinbekommen *freu*...

Jetz happerts noch mit dem Offset im Koordinatensystem und der genauen Ausrichtung...
Alles Kleinigkeiten, die ich jetzt zu debuggen versuche.

Vielen Dank an Capricorn-01!
Ich werde in ein paar Tagen nochmal den genauen Lösungsweg mit Ergebnisbildern hier dokumentieren, damit auch andere etwas davon haben, sollten sie mal auf dasselbe Problem stoßen. (Für einen sauberen Java-Code ist dann jeder selbst verantwortlich)

mfg

sanbex

14:58 Uhr, 29.12.2012

sanbex

15:10 Uhr, 30.12.2012

Hallo nochmals!

Ich dachte, ich könnte das Problem, alle Blocks, die auf der Ellipsenbahn liegen mit 100% Sicherheit zu finden, lösen, indem ich einfach den Winkel verkleinere...

jedoch ist die Sicherheit, dass wirklich jeder Block gefunden wird, der von der Kurve geschnitten wird, nicht vollständig gewährleistet.

Das Ergebnis ist auch, dass die Ellipse dann unsymmetrisch wird, weil einzelne Blöcke fehlen.

Wie kann ich denn nun sicherstellen, dass jeder Block gefunden wird? (Außer den Winkel noch weiter verkleinern zu müssen)

mfg

1061173

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