Koordinatenabbildung bei Polynombasis bestimmen

Hallo,

Ich muss die Koordinatenabbildung bezüglich einer Polynombasis bestimmen und komme leider nicht klar seid mehreren Stunden.

Hier ein frei erfundenes Beispiel:

Basis: ${\displaystyle \left\{\right(2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-5),(2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}),(2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+9\left)\right\}}$

Ich weiss schonmal das ich vom ${\displaystyle {\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\le 2}[\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}]\to {\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$ abbilde.

a1${\displaystyle ({2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-5)}$+a2${\displaystyle ({2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+4\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$+a3${\displaystyle (2\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+9)}$=${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Mein ergebniss ist also ein 3er Vektor.

Ich habe versucht eine Matrix aufzustellen mit x^2, x, zahl, ergebniss als Spalten und den drei Basen als Zeilen und diese dann in die erweiterte Dreiecksmatrixform zu bringen.

Ist Misslungen gab immer gigantische Terme und ein Falsches ergebniss.

Dann hab ich versucht es mehr oder weniger durch Abschätzen (a1-a3 auf 1 setzen, ergebniss angucken, nachbessern) das würde Klappen dauert aber ewig und verbraucht ne Menge gehirnschmalz, manchmal auch zuviel und es dauert Stunden ohne ergebniss.

Ich hab auch versucht die aufgestellte Matrix in NZSF zu bringen um die ergebnisse direkt ablesen zu können. Misslungen.

Könnte mir mal jemand der es kann bitte an einer Beispielaufgabe die zB x^2 in zwei Termen hat detailiert zeigen wie es geht ? Mir gehts um details wie muss ich das x^2 oder x mit in die Matrix schreiben ect. Gerne auch die Spalten/Zeilen benennen/Nummerieren ...

Aber jeder andere Tipp ist mir auch lieb ...

Dankeschön ...

Gegeben seien die Basen

B1={4x²-x+2, 2, x} B2={2x², x²+x, 1}

von R${\displaystyle \le 2}$[x] sowie die lineare Abbildung L : R${\displaystyle \le 2}$[x]${\displaystyle \to }$R${\displaystyle \le 2}$[x]

gegeben durch ihre darstellende Matrix bezüglich der Basis B1,

LB1 =

3 1 0
1 0 0
0 2 1

a) Bestimmen Sie ${\displaystyle {\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1}^{-1}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2}}$ .

Ja, meine Rechergen haben ergeben das KB-1 die Inverse des Koordinatenvektors und KB2 der Koordinatenvektor bezüglich B2 ist. Aber wie gesagt DAS ist die gesammte Aufgabe wortwörtlich ... Mehr habe ich auch nicht und ich kann leider auch sonst niemanden fragen derzeit D=.

Ich könnte mir vorstellen das dass ganze was mit der funktion die von B1 auf B2 geht zu tun hat ... das ganze kann man ja auch so schreiben :

${\displaystyle \begin{array}{ccc}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1& \stackrel{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\begin{array}{c}\to \end{array}}& \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2\\ \downarrow {\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1}& & \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2\downarrow \\ \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \stackrel{\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\to }& \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}}$

wo da jetzt die darstellende Matrize hingehört weiss ich nicht und ob die K = R<=2 [x] sind weiss ich auchnicht aber ich vermute es ...

Eigentlich liegt genau darin mein Problem was ich im allerersten Post versucht habe zu beschreiben =). Das war mein allererster Ansatz dieses LGS aufzustellen und es zu Lösen. Das Lösen will mir nicht gelingen deswegen bat ich darum mir an einer Beispielaufgabe die vorgehensweise zu erläutern =).

Ich hatte versucht eine Erw. Matrix daraus zu machen und sie so zu lösen aber es schlug fehl da die Terme für r, s, t in unendliche dimensionen wuchsen.

Ich kann das mit Matrizen aber nicht mit Polynomen kA was ich da wo einsetzen darf und was nicht.

Danke übrigens für deine Hilfe bis jetzt =) ... Ich kann mich leider erst wieder Sonntag hiermit beschäftigen.

Ja nur wie ? t=c das sehe ich auf anhieb =) ...dann hab ich es mit r=a versucht dann habe ich 2x^2 dann muss in s ein -a drin sein aber dann ja auchnoch ein +b dann bekomme ich aber ein -ax²-ax+bx²+bx raus was nicht zum rest passt D= ...

Es muss doch eine herrangehensweise geben was strukturiertes ... so ists ja nur ausprobieren ...

Ich habs,

${\displaystyle \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{1}{2}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

wenn man das einsetzt hat man dann ax²+bx+c am ende raus.

ABER ich habe es nur durch "Ausprobieren" rausgefunden. Gibs da wirklich keinen anderen weg ? Wenn die Basen ein wenig komplizierter gewesen wären hätte ich es so nicht geschafft D=

Okay das war jetzt KB2 ... boah schwere geburt ...

Jetzt würde ich KB1 "berechnen" ... wie bekomme ich dann die Inverse ? Wie gehabt bei einer Matrix weiss ich es aber so =/

So da bin ich wieder,

Ich habs nun so gemacht und bin auf :

${\displaystyle {\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2}=\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{c}\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}\\ \frac{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\\ \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)\end{array},{\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1}=\begin{array}{cc}& \left(\begin{array}{c}\frac{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{4\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}\\ \frac{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}\\ \frac{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\end{array}\right)\end{array}}$

gekommen. Wenn man es dann in der Form schreibt die wir oben erläuterten so kommt ax²+bx+c raus.

Nun zur Inverse, ich verstehe es nicht ganz denn wenn ich nun den weg zurück gehe von KB1 über KB-1 dann kommt da doch die Linearkommbination bei raus mit der ich den Vektor berrechnet habe nämlich ${\displaystyle \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(4\mathrm{x²<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2)+\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2\right)+\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ das kann doch nicht stimmen ...