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Koordinatengleichung einer Ebene

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Abitur 2011, eben, Koordinatengleichung

Dieda aktiv_icon

15:33 Uhr, 05.12.2011

Hallo, ich verzweifle gerade an einer Abi-Aufgabe von

2011

. Weiß absolut nicht, wie ich vorgehen muss.

Gegeben ist eine Gebäude mit der Grundfläche

A (4 | 0 | 0), B (4 | 6 | 0), C (0 | 6 | 0), D (0 | 0 | 0)

und eine Dachfläche mit

E (4 | 0 | 4), F (4 | 6 | 1), G (0 | 6 | 5), H (0 | 0 | 8)

.

Aufgabe: Bestimmen sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Dachfläche EFGH liegt.

Lösung: E(Dach):

2 x (1) + x (2) + 2 x (3) = 16

Ich habe übehaupt keine Idee, wie ich darauf kommen soll und was es mit der Ebene überhaupt auf sich hat.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

prodomo aktiv_icon

16:05 Uhr, 05.12.2011

Hier gibt es gleich mehrere Möglichkeiten. Da

E, F, G,

und

H

in der Ebene liegen sollen, reichen 3 von ihnen aus, der 4. muss ja laut Text dabei sein.
Der gängige Weg führt über die Parameterform, dann den Normalenvektor und die Normalenform, die ausmultipliziert die Koordinatenform ergibt. Wenn naber die Parameterform sonst gar nicht gebraucht wird, kann man auch schneller zur Koordinatenform kommen.
Da du schreibst, dass dir fast alle Ideen fehlen, fange ich mit der Parameterform an, weil man die im Unterricht als erstes kennenlernt.
Ein Punkt der Dachfläche wird als Aufpunkt genommen (egal, welcher). Von dort aus ergeben die Vektoren zu den beiden anderen Punkten (die Richtungsvektoren, manchmal auch Spannvektoren) einen dreieckigen Teilausschnitt der Ebene, den man sich nach allen Seiten verlängert vorstellen kann. Einen Vektor von einem Punkt zum anderen erhält man aus Endpunktvektor - minus Anfangspunktvektor. Hier also EF

= (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{matrix})

und EH

= (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

. Da es nur auf die Richtung und nicht auf die Länge ankommt, kann man die Komponenten proportional kürzen, um im weiteren Verlauf einfacher rechnen zu können. Hier wird aus

(\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{matrix})

dann

(\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

und aus

(\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

einfacher

(\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

. Die Parameterform mit

E

als Aufpunkt heißt dann

\vec{x} = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

.
Jetzt brauchen wir einen Normalenvektor, der auf dieser Ebene senkrecht steht. Sein Skalarprodukt mit beiden Richtungsvektoren muss 0 ergeben (es gibt auch noch andere Berechnungsmöglichkeiten). Die Bedingungen heißen dann

2 y + z = 0

und

- x + z = 0,

wenn

x, y, z

die Komponenten des Normalenvektors sind. Daraus folgt, dann

x

und

z

gleich sind und

y = - \frac{1}{2} z

ist. Eine Komponente kann man frei wählen (das beeinflusst nur die Länge, das "senkrecht" bleibt

!),

hier

z . B

x = 2

. Dann ist

\vec{n} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

. Jetzt bilden wir die Normalenform.

(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) \cdot [\vec{x} - (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})] = 0,

ausgerechnet

2 \cdot x - y + 2 \cdot z - 16 = 0

. Wenn du die

x_{1}

durch

x,

usw. ersetzt, hast du deine Musterlösung.

Dieda aktiv_icon

16:25 Uhr, 05.12.2011

Vielen, vielen Dank für diese tolle und ausführliche Antwort!
Ich habe nur noch etwas Probleme, den zweiten Teil zu verstehen. Was genau zeigt mir denn der Normalenvektor? Ich habe ihn schon bildlich vor mir und weiß wie er aussieht. Ich verstehe nur nicht so ganz, was er mir in meiner Gleichung anzeigt.

P . S . :

Für alle, die sich auch noch an diesem schönen Lösungsweg entlang hangeln möchten:

x (3)

bei EF ist

- 3

prodomo aktiv_icon

16:32 Uhr, 05.12.2011

Ein Normalenvektor ( das Wort NORMAL bedeutet dasselbe wie ORTHOGONAL ZU ) ist ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht. Nimm einen Bierdeckel und klebe eine Kerze darauf (passt auch gerade). Der Deckel ist die Ebene, die Kerze der Normalenvektor. Um die Ebene im Raum zu fixieren, kann man sie parallel verschieben, aber nicht kippen (dann kippt die Kerze mit). Alle Ebenen mit demselben Normalenvektor sind also parallel zueinander. Um eine auszusuchen, muss man einen Punkt angeben, durch den sie laufen soll. Das ist der Aufpunkt. Die Kerze steht jetzt senkrecht zu allen Pfeilen,die du auf den Deckel zeichnen kannst!

prodomo aktiv_icon

16:34 Uhr, 05.12.2011

Sorry für den Fehler in der Eile bei EF, daher auch das negative

y!

Dieda aktiv_icon

16:34 Uhr, 05.12.2011

Ah super, danke nochmal!

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