Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Koordinatengleichung einer Ebene

Koordinatengleichung einer Ebene

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Analytische Geometrie, eben, Koordinatenform

loversspit aktiv_icon

17:31 Uhr, 28.10.2015

Ich habe 3 Aufgaben zur Koordinatengleichung aufbekommen und komme überhaupt nicht klar. Analytische Geometrie ist leider überhaupt nicht mein Gebiet.

: (

Danke im vorraus.

1. Die Ebene geht durch den Punkt

(4; 4; 0)

und ist parallel zur z-Achse. Ihr y-Achsenabschnitt beträgt

12

.

2. Die Ebene enthält die Punkte

P (2; - 1; 5), B (- 1; - 3; 9)

und ist parallel zur z-Achse.

3. Beschreibe die besondere Lage der Ebene

E

im Koordinatensystem und stelle die Koordinatengleichung möglichst ohne Rechnung auf:

a) E : x = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

b) E : x = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Parameterform

Roman-22

19:33 Uhr, 28.10.2015

>

Analytische Geometrie ist leider überhaupt nicht mein Gebiet.

: (

Na, dann musst eben besonders intensiv daran arbeiten, damit sich das ändert.
Geht's in Deutsch besser?

>

Danke im vorraus.
Autsch! Es ist immer noch der "Voraus", groß, aber dafür nur ein "r".

> 1

. Die Ebene geht durch den Punkt

(4; 4; 0)

Hurra, wir haben damit eine Stützpunkt

P

für diese Ebene!

>

und ist parallel zur z-Achse.
Diese Lage einer Ebene nennt man auch erstprojizierend.
Da könnten wir doch glatt einen beliebigen Vektor in Richtung der z-Achse als Spannvektor für die Ebene nehmen, oder?

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 37.97 \end{matrix})

wäre da ein schönes Exemplar, aber vielleicht gefällt dir

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

ja besser.

>

Ihr y-Achsenabschnitt beträgt

12

.
Das heißt doch dass die Ebene durch den Punkt

S_{y} (. . | . . | . .)

geht. Ergänze bitte selbst die Koordinaten.

Auch der Ortsvektor zu

S_{y}

kann natürlich als Stützvektor in der gesuchten Ebenengleichung anstelle des Ortsvektors von

P

verwendet werden.

Als zweiten Spannvektor schlage ich den Vektor

\vec{S_{y} P}

vor.

Damit hast du dann alles, um die Ebenengleichung in der Parameterform hinzuschreiben.

R

loversspit aktiv_icon

20:12 Uhr, 28.10.2015

Ich habe jetzt für 1. und 2. jeweils die Parameterform gebildet und dann in die Koordiantenform umgewandelt:

1.

E :

Vektor

x = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 0 \end{matrix})

E : 8 x + 4 y = 48

E :

Vektor

x = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} - 3 \\ - 4 \\ 4 \end{matrix})

E : 8 x - 3 y = 19

Ist das richtig ? Und wie komme ich bei 3. weiter ?

Roman-22

20:44 Uhr, 28.10.2015

Ich seh mir hier nur das erste Beispiel an und was du angibst ist falsch. Jedenfalls die Parameterdarstellung. Die Koordinatengleichung ist dann wieder richtig - vermutlich ein weiterer Fehler, der sich zufälligerweise mit dem ersten aufhebt.
Da du keinerlei Rechenweg angibst kann man nicht mehr dazu sagen.
Welche Koordinaten hat

S_{y}

und wie lautet der Vektor

\vec{S_{y} P}

wirklich?

R

loversspit aktiv_icon

21:23 Uhr, 28.10.2015

S

hat

(0; 12; 0)

und der Vektor

(\begin{matrix} - 4 \\ 8 \\ 0 \end{matrix})

Ich hab zuerst das Kreuzprodukt gebildet mit den Richtungsvektoren

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} - 4 \\ 8 \\ 0 \end{matrix})

kam dann auf den Vektor

n (\begin{matrix} - 8 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})

und danach habe ich

d

für die Koordinatengleichung ausgerechnet in dem ich das Skalarprodukt von dem Vektor

n

und den Stützvektor gerechnet habe. Kam auf das Ergebnis

d = - 48

Alles zsm gefasst kam ich auf diese Koordinatengleichung:

E : 8 x + 4 y = 48

Ma-Ma aktiv_icon

21:34 Uhr, 28.10.2015

Kleiner Tipp: Mache dir unbedingt eine Skizze, trage die Punkte ein.
Überlege, was Dein Stützvektor und Deine Richtungsvektoren sein sollen.
Dann diese einzeichnen.

Anschließemd lade Deine Skizze hier hoch.
LG Ma-Ma

loversspit aktiv_icon

21:54 Uhr, 28.10.2015

meine Skizze

Ma-Ma aktiv_icon

22:01 Uhr, 28.10.2015

Deine Skizze:
Koordinatensystem stimmt.

Was ist Dein Punkt P?
Was ist Dein Punkt

S_{y}

?

Wo ist Deine gezeichnete Ebene ?

Hilfreich ist auch ein Blick in Dein Schulbuch, dort werden Dir Beispiele geliefert.

Ich weiß, beim erstenmal ist es noch schwer

. .

.
LG Ma-Ma

loversspit aktiv_icon

22:19 Uhr, 28.10.2015

Ist das jetzt richtig ? Und könnetst du meine 2. Aufgabe auch überprüfen und mir bei 3. helfen?

loversspit aktiv_icon

22:20 Uhr, 28.10.2015

ups, hier die bilder

dl.pushbulletusercontent.com/y5DxEY7xeqHU68Uv9cWQ8yJnsPxRpVup/DSC_6615.JPG

dl.pushbulletusercontent.com/53SwzpfVJiXNpuLR8ohPTNcMUL3o9DLI/DSC_6616.JPG

weiß leider nicht wieso die bilder nicht hochladen

: (

Ma-Ma aktiv_icon

22:50 Uhr, 28.10.2015

Ebenenzeichnung:
Wo sind Deine Richtungsvektoren

\vec{u}

und

\vec{v}

?
Wo ist Dein Normalenvektor

\vec{n}

?

LG Ma-Ma

Roman-22

23:04 Uhr, 28.10.2015

>

Ist das jetzt richtig ?
Wenn du den Richtungsvektor von Anfang so hattest und nur beim Eintippen hier das Minus vergessen hast, dann war dein erstes Beispiel von Anfang an richtig. Das würde auch erklären, warum, wie ich ja auch geschrieben hatte, die Koordinatengleichung richtig war.

>

Und könnetst du meine 2. Aufgabe auch überprüfen und mir bei 3. helfen?
Beim zweiten Beispiel ist dein zweiter Richtungsvektor falsch und auch die Koordinatengleichung stimmt (daher) nicht.
EDIT: Sehe gerade in deinem letzten beigefügten Phote, dass du

2)

jetzt doch richtig hast

\to 2 x - 3 y = 7

Was

3)

anlangt, so sollte dir der jeweils zweite Spannvektor bekannt vorkommen.
Überlege dir die Lage des ersten Spannvektors.

R

loversspit aktiv_icon

23:16 Uhr, 28.10.2015

Ja ich habe es nocheinmal gerechnet und kam auf:

E :

Vektor

x = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + s (- 3), (- 2), (4))

E : 2 x - 3 y = 7

loversspit aktiv_icon

23:20 Uhr, 28.10.2015

zu 3. Also beide Ebenen sind parallel zur z-Achse aufgrund des Richtungsvektors

s (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

. Zu

b)

fällt mir nur auf das Stützvektor und Richtungsvektor gleich sind. Wäre es dann nur eine Gerade ?

Roman-22

23:27 Uhr, 28.10.2015

Parallel zur z-Achse sind alle vier Ebenen in deiner Aufgabe.

ad

3 b)

Wenn ein Stützvektor mit einem Richtungsvektor übereinstimmt (oder auch nur ein Vielfaches davon ist), so bedeutet das, dass die Ebene durch einen ganz bestimmten Punkt geht (durch welchen?).
Was enthält deine spezielle Ebene dann noch. Wie würdest du die Lage in Worten beschreiben

Etwas einfacher ist vielleicht die Ebene in

3 a)

. Sie hat eine noch viel speziellere Lage (nennt man in der Geometrie auch zweite Hauptlage). Sieh dir den ersten Richtungsvektor an. Welche Lage hat er?

Und es gilt auch noch die Gleichungen der beiden Ebenen anzugeben, die man, wenn man sich die Lage der Ebenen vorstellen kann, tatsächlich ohne Rechnung direkt anschreiben kann.

Generell gilt natürlich das, wo dich Ma-Ma immer wieder hinzuführen versucht - mache dir Skizzen von den Punkten und Vektoren. Mit der Zeit sollte das deine Vorstellungskraft schulen.

R

loversspit aktiv_icon

23:38 Uhr, 28.10.2015

also

3 a)

ist laut meiner skizze parallel zur y-z-Achse und

3 b)

weiß ich leider nicht genau was du meisnt

Roman-22

23:52 Uhr, 28.10.2015

>

also

3 a)

ist laut meiner skizze parallel zur y-z-Achse
Du meinst das Richtige, aber:
entweder du schreibst, dass die Ebene gleichzeitig parallel zur

y -

und zur z-Achse ist, oder du schreibst, dass sie parallel zur y-z-Ebene ist, also zu jener Ebene, die durch diese beiden Achsen aufgespannt wird.

Welche Eigenschaft in Bezug auf ihre Koordinaten haben alle Punkte dieser Ebene, wenn doch alle gleich weit von der y-z-Ebene entfernt sind?

> 3 b)

weiß ich leider nicht genau was du meisnt
Hast du dir eine Skizze gemacht? Der Stützpunkt

(1 | 1 | 0)

liegt in der xy-Ebene, also quasi am Fußboden und von dort zeichne die Richtungsvektoren

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

.
Übrigens ist mit

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

natürlich auch

(\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})

ein gültiger Richtungsvektor der Ebene. Wo landest du, wenn du ihn vom Stützpunkt aus abträgst?

Dass bei der (Koordinaten-)Gleichung aller deiner Ebenen

z

nicht mehr vorkommt, weil alle parallel zu z-Achse sind, sollte mittlerweile klar sein. Wenn ein Punkt auf einer solchen Ebene liegt, dann liegen alle Punkte, die über oder unter diesem Punkt liegen, auch in der Ebene. Die z-Koordinate kann also beliebig gewählt werden und somit spielt sich in der Ebenengleichung keine Rolle und kommt nicht vor.
Welche Beziehung könnte also bei

3 b)

zwischen den

x -

und y-Koordinaten der Ebenenpunkte bestehen?

R

loversspit aktiv_icon

23:59 Uhr, 28.10.2015

3 a)

naja im prinzip ist es die y-z-achse ?

3 b)

ist sie senkrecht zur x-y-achse ?

Ma-Ma aktiv_icon

00:09 Uhr, 29.10.2015

OffTopic: Da Roman gerade off ist, nochmal ein kleiner Einwurf zu Aufgabe

1)

Du hattest

- 4 x + 8 y = d

Jetzt suche Dir einen BEKANNTEN Punkt dieser Ebene und setze

x

und

y

ein.
Du erhälst

d

.
(Es gab da den Punkt

P (4 | 4 | 0) ...)

LG Ma-Ma

- - - - - - - - - - - - - -

Nachtrag:
Bitte sei so lieb und mache für jede Aufgabe einen eigenen Thread auf

. .

.
wird sonst zu unübersichtlich

. .

Ma-Ma aktiv_icon

00:16 Uhr, 29.10.2015

ZU Aufgabe

3)

kann ich nur sagen: Ein Bild sagt mehr als tausend Worte

. .

.
LG Ma-Ma

Roman-22

01:22 Uhr, 29.10.2015

Bei all dem hin und her zwischen den verschiedenen Beispielen komm ich jetzt auch schon ein wenig durcheinander.

@Ma-Ma: Ich glaube, Aufgabe

1)

ist schon erledigt. loversspit hatte in ihren Aufzeichnungen den (besser: einen) Ebenennormalvektor richtig mit

(\begin{matrix} - 8 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})

bestimmt, das Skalarprodukt mit dem Stützvektor

(\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

gebildet und richtigerweise

- 48

erhalten. Auch die Gleichung, die sie dann mit

- 8 x - 4 y = - 48

und letztlich mit

8 x + 4 y = 48

angegeben hatte war richtig. Ich vermutete schon, dass sie diese Aufgabe von Anbeginn an richtig hatte und sich bloß gestern um

20 : 12

beim Anschreiben der Parameterdarstellung mit einem Vorzeichen geirrt hatte.

Auch die ursprünglich falsche Aufgabe 2 ist mittlerweile richtig.

Bei Aufgabe 3 hapert es allerdings noch gewaltig an der Vorstellungskraft und ich kann mich nur anschließen - eine ordentliche Zeichnung bringts!

@loversspit:

> 3 a)

naja im prinzip ist es die y-z-achse ?
Nein! Den Fehler hatten wir schon. Eine Ebene ist keine Achse und umgekehrt. Die Ebene ist parallel zur yz-Ebene und nein, sie IST nicht diese Ebene. Sie ist eben "nur" parallel dazu. In welchem Abstand? Überlege, welchen Punkt der Ebene du kennst.

> 3 b)

ist sie senkrecht zur x-y-achse ?
Schon wieder - nein! Es gibt eine x-Achse und es gibt die y-Achse, aber es gibt nie und nimmer eine x-y-Achse! Was es aber sehr wohl gibt, ist die xy-Ebene und ja, unsere Ebene steht zu ihr senkrecht. Aber das tun alle Ebenen, welche parallel zur z-Achse sind und umgekehrt ist jede Ebene, die auf

π_{1} (=

xy-Ebene) normal steht, automatisch auch parallel zur z-Achse.
Hast du dir schon eine Zeichnung, wie mehrfach vorgeschlagen, gemacht?
Kannst du außer

(1 | 1 | 0)

noch weitere Punkte der Ebene angeben? Und damit meine nicht Punkte wie

(1 | 1 | - 23,5)

oder

(1 | 1 | 5),

sondern Punkte mit anderen x-,y-Koordinaten

(\neq 1)

R

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1263037

1262887

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?