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Kreisgleichung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: explizit, implizite Darstellung, Parameterdarstellung

zickzack aktiv_icon

23:13 Uhr, 09.03.2010

1)

Die Kreisgleichung lautet ja folgendermaßen:

x^{2} + y^{2} = r^{2}

die explizite Darstellung würde dann lauten:

y = \sqrt{r^{2} - x^{2}}

die implizite Darstellung:

x^{2} + y^{2} - r^{2} = 0

???? ist das so richtig bis jetzt?

wie lautet dann die Parameterdarstellung zu der Kreisgleichung?

2)

Folgende Gleichung ist in der impliziten Darstellung

: x^{3} + y^{3} - 12 x y = 0

Wie lautet die dazu gehörige explizite Darstellung und wie würde man sie Zeichnen?

danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

johannes2010 aktiv_icon

09:47 Uhr, 10.03.2010

zu 1.

y = \pm \sqrt{r^{2} - x^{2}}

Parameterdarstellung:

x = r \cos (φ)

y = r \sin (φ)

0 \leq φ \leq 2 π

zu 2.
Ist mir auch nicht wirklich was gutes eingefallen!
Ansatz:

x = r_{(φ)} \cos^{\frac{2}{3}} (φ)

y = r_{(φ)} \sin^{\frac{2}{3}} (φ)

Einsetzen liefert:

r = 12 {(\sin (φ) \cos (φ))}^{\frac{2}{3}}

\Rightarrow x = 12 {(\cos^{2} (φ) \sin (φ))}^{\frac{2}{3}}

\Rightarrow y = 12 {(\sin^{2} (φ) \cos (φ))}^{\frac{2}{3}}

Jetzt kann man es zumindest zeichnen!
Den expliziten Zusammenhang kann man evtl. mit Additionstheoremen herleiten

johannes2010 aktiv_icon

09:56 Uhr, 10.03.2010

......

zickzack aktiv_icon

19:54 Uhr, 10.03.2010

wie kommt man auf cosinus und sinus??

johannes2010 aktiv_icon

09:58 Uhr, 11.03.2010

Das ist die Parameterdarstellung der Kreisgleichung. Man nennt diese Koordinaten Polarkoordinaten.
Im Endeffekt nimmst du einen Punkt P(x,y) und beschreibst ihn mit dem Winkel

α

und der Hypothenuse:

Hypotenuse

= r r^{2} = x^{2} + y^{2}

Ankathete

= x = r \cos (α)

Gegenkathete

= y = r \sin (α)

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