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Kreisscheibe holomorph

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Tags: Beweisverfahren

prolift

21:11 Uhr, 21.11.2015

Hallo ihr Lieben :-)

gibt es eine Möglichkeit Formel der Kreisscheibe zu beweisen? fundamentalen Aussagen der Funktionentheorie beispielsweise..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Whiss

22:21 Uhr, 21.11.2015

Hallo Sandra85,

es gibt eine Integralformel.
Holomorphe Funktion.
Jede holomorphe ist ad libitum oft komplex differenzierbar.

f |_{U} (a) = \frac{1}{2 π i} \oint_{δ U} \frac{f (ζ)}{ζ - a} d ζ = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π} \frac{f (a + r e^{i t})}{r e^{i t}} i \cdot r \cdot e^{i t} d t = \frac{1}{2 π i} \int_{0}^{2 π} f (a + r e^{i t}) d t

Ausgedrückt hieße dies Foglendes.

| z - a | < r

und

n \in ℕ

f^{n} (z) = \frac{n!}{2 π i} \oint_{δ U} \frac{f (ζ)}{{(ζ - z)}^{n + 1}} d ζ

Sehr wichtig zu wissen ist, dass jede holomorphe Funktion in eine Potenzreihe entwickelbar ist für

| z - a | < r

.

Folgend kommen diese Rechenexempel dran.

f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{1}{2 π i} \oint_{δ U} \frac{f (ζ)}{ζ - a} d ζ) {(z - a)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(z - a)}^{n}

Aus der abgebildeten Integralformel

f^{n}

folgt, dass die Koeffizienten

a_{n}

die Taylor Koeffizienten sind.

Eine Abschätzung muss sich kennzeichnen durch

| f (z) | \leq M

für

| z - a | < r

z \in U_{r} (a)

Es gilt Folgendes.

| a_{n} | \leq \frac{M}{r^{n}}

Fortführend lässt sich der Fundamentalsatz der Algebra beweisen.

f^{n} {|_U (z) = δ^{n} \frac{f}{δ z^{n}} |}_{U} (z) = \frac{1}{2 π i} \frac{δ^{n}}{δ z^{n}} \oint_{δ U} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ = \frac{1}{2 π i} \oint_{δ U} f (ζ) \frac{δ^{n}}{δ z^{n}} \frac{1}{ζ - z} d ζ = \frac{n!}{2 π i} \oint_{δ U} \frac{f (ζ)}{{(ζ - z)}^{1 + n}} d ζ

Wie ist der Anklang?

Schöne Grüße

Whiss

prolift

22:54 Uhr, 21.11.2015

Super danke sehr!

prolift

17:30 Uhr, 07.12.2015

hei, was meint man mit Integrallemmas von Goursat ?
sonst habe ich vieles begriffen dank dir.

; D

Whiss

19:34 Uhr, 07.12.2015

Guten Abend Sandra85,

Es lässt sich mit Hilfe des Integrallemmas von Goursat zeigen, dass sich aus der komplexen Differenzierbarkeit allein - also ohne die zusätzliche Annahme der Stetigkeit der Ableitungen! - bereits der cauchysche Integralsatz und dann auch die Existenz aller höheren Ableitungen ergibt. Dieser Zugang zum cauchyschen Integralsatz umgeht den Satz von Stokes und ist unter didaktischen Gesichtspunkten vorzuziehen.

Schöne Grüße

Whiss

prolift

15:36 Uhr, 08.12.2015

Danke, sehr nett. :-D)

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