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Kritische Stellen bestimmen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

Ersti1811 aktiv_icon

11:14 Uhr, 07.10.2018

Hallo,
ich habe die Funktion

f (x, y) = x^{4} + y^{2} - 8 x^{3} y^{2} - 8 x^{2}

gegeben und möchte davon alle kritischen Stellen berechnen.

Die partiellen Ableitungen sind also:

4 x^{3} - 24 x^{2} y^{2} - 16 x

Und

2 y - 16 x^{3} y

Durch Nullsetzen der weiten Gleichung habe ich die kritischen Stellen

(0,0) (2,0)

und

(- 2,0)

erhalten.

Muss ich jetzt für die andere Gleichung jetzt noch genauso verfahren oder ist durch die Bestimmung der Nullstellen der 2. Gleichung schon sichergestellt, dass ich alle kritischen Stellen gefunden habe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

11:22 Uhr, 07.10.2018

Die zweite Gleichung wird nicht nur für diese drei Punkte 0.
JEDER Punkt (a|0) erfüllt sie.

Löse das GleichungsSYSTEM.

Ersti1811 aktiv_icon

11:45 Uhr, 07.10.2018

Ich habe bisher gerechnet:

2 y - 16 x^{3} y = y (2 - 16 x^{3}) = 0

\to y = 0

bzw.

2 - 16 x^{3} = 0 \to x = \frac{1}{2}

y = 0

in die erste Zeile der Ableitung eingesetzt ergibt

x = 0

oder

x = - 2

oder

x = 2

.

Für

x = \frac{1}{2}

eingesetzt in die erhalten wir

y^{2} = - \frac{15}{12}

das heißt

x = \frac{1}{2}

kann keine kritische Stelle sein.

Wie muss ich jetzt weiterrechnen? Ich habe bereits versucht die erste Zeile der Ableitung nach

y

umzuformen und in die zweite Zeile einzusetzen aber diese Gleichung konnte ich wegen Wurzeltermen nicht nach

x

umformen. Deshalb meine Frage ob ich mit meiner bisherigen Rechnung schon alle kritischen Stellen erhalten habe.

abakus

13:18 Uhr, 07.10.2018

Du hast vorhin nur geschrieben, dass du die zweite Gleichung gleich 0 gesetzt hast und dadurch zu kritischen Punkten gekommen bist.
Jetzt sehe ich, dass du auch die erste Gleichung schon verwendet hast.
Somit gibt es tatsächlich keine weiteren kritischen Punkte.

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