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Krümmung, Krümmungsradius, ...

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Integration

Tags: Integration

ellobo1987 aktiv_icon

11:42 Uhr, 21.05.2011

Hallo Leute!

Folgende Aufgabe muss ich lösen:
An welcher Stelle hat die Kurve

y = l n (x)

die größte Krümmung? Berechnen Sie zu diesem Punkt der Kurve den Mittelpunkt des Krümmungskreises und seinen Radius!

Ich habe das Beispiel zum Großteil durchgerechnet. Könnt ihr bitte meinen Lösungsweg auf Fehler untersuchen?

y = l n (x)

y ʹ = \frac{1}{x} \to y ʹ^{2} = \frac{1}{x^{2}}

y ʺ = - \frac{1}{x^{2}}

Krümmung:

κ = \frac{f ʺ (x)}{{(1 + f ʹ^{2} (x))}^{3 / 2}} = \frac{- \frac{1}{x^{2}}}{{(1 + \frac{1}{x^{2}})}^{3 / 2}} = \frac{- x}{(x^{2} + 1)^{3 / 2}}

κ ʹ = 0 = \frac{- 1 (x^{2} + 1)^{3 / 2} + \frac{3}{2} (x^{2} - 1)^{1 / 2} * 2 x * x}{(x^{2} + 1)^{3}}

0 = - (x^{2} + 1)^{3 / 2} + 3 x^{2} (x^{2} - 1)^{1 / 2}

(x^{2} + 1) = 3 x^{2}

2 x^{2} = 1

x^{2} = \frac{1}{2}

x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}

da h für x>0 def. folgt:

\Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{2}}

κ = \frac{- \frac{1}{\sqrt{2}}}{{(\frac{1}{2} + 1)}^{3 / 2}} = \frac{- 2^{1 / 2} * 2}{3^{3 / 2} * 2^{1 / 2}} = - 0, 38

Da ein negativer Wert, also (

κ < 0

) im Ergebnis ausfscheint, handelt es sich um eine Rechtskrümmung.

Krümmungsradius (Kehrwert der Krümmung):

ϱ = \frac{1}{κ} = - 2, 598

Für den Krümmungsmittelpunkt

M = (x_{0}; y_{0})

kommen folgende Formel zum Einsatz:

x_{0} = x - y ʹ \frac{1 + (y ʹ)^{2}}{y ʺ}

und

y_{0} = y + \frac{1 + (y ʹ)^{2}}{y ʺ}

Das muss aber erst rechnen.

Lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

13:30 Uhr, 21.05.2011

Hallo,

nach meiner Erinnerung ist der Krümmungsradius immer positiv,

d . h

ρ = \frac{1}{| κ |},

aber ansonsten ist alles richtig. (Zur Kontrolle: ich habe als Mittelpunkt des Krümmungskreises

x_{0} = 2 \cdot \sqrt{2} \approx 2.828

und

y_{0} = - \frac{1}{2} \cdot (3 + ln (2)) \approx - 1.847)

Viele Grüße
Yokozuna

ellobo1987 aktiv_icon

14:55 Uhr, 21.05.2011

Stimmt. Das ist ein Betrag! Danke!

Beim Mittelpunkt verstehe ich nicht wie man zu seinem x und seinem y kommt? Also bei

x_{0} = x - y ʹ \frac{1 + (y ʹ)^{2}}{y ʺ}

das x. Kannst du mir das erklären?

Lg

Yokozuna aktiv_icon

15:25 Uhr, 21.05.2011

Also

x

und

y

sind die Koordinaten des Punktes, an dem der Krümmungskreis die Kurve

y (x) = ln (x)

berühren soll. Bei Deiner Aufgabe ist ja der Krümmungskreis an der Stelle der Funktion gesucht, an der die Krümmung am größten ist. Diese Stelle hast Du ja schon ermittelt. Es ist

x = \frac{1}{\sqrt{2}}

. Demzufolge ist

y (\frac{1}{\sqrt{2}}) = ln (\frac{1}{\sqrt{2}})

. Und die Ableitungen

y'

und

y''

sind ebenfalls an der Stelle

x = \frac{1}{\sqrt{2}}

zu nehmen:

y' (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}

und

y'' (\frac{1}{\sqrt{2}}) = - \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}} = - 2

.

Viele Grüße
Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

15:36 Uhr, 21.05.2011

Der gesuchte Krümmungskreis sieht dann etwa wie auf dem Bild unten aus.

ellobo1987 aktiv_icon

16:30 Uhr, 21.05.2011

Super! Danke!

Möchte nur zur Sicherheit alles noch einmal zusammenfassen:

Krümmungsradius:

ϱ = \frac{1}{∣ κ ∣} = 2, 598

Mittelpunkt nach x:

x_{0} = x - y ʹ \frac{1 + (y ʹ)^{2}}{y ʺ}

x = \frac{1}{\sqrt{2}}

y ʹ (\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2}

{(y ʹ (\frac{1}{\sqrt{2}}))}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} = 2

y ʺ (\frac{1}{\sqrt{2}}) = - \frac{1}{{(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}} = - \frac{1}{\frac{1}{2}} = - 2

x_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} \frac{1 + 2}{- 1} = 2, 828

Mittelpunkt nach y:

y_{0} = y + \frac{1 + (y ʹ)^{2}}{y ʺ}

y (\frac{1}{\sqrt{2}}) = l n (\frac{1}{\sqrt{2}})

y_{0} = l n (\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1 + 2}{- 2} = - 1, 8466

Also

\to M (x_{0}; y_{0}) = M (2, 828; - 1, 8466)

Wollte dich noch fragen mit welchem Programm du deine Funktionen zeichnest? Wolfram Mathematika?

Nochmals vielen Dank!

Yokozuna aktiv_icon

16:36 Uhr, 21.05.2011

Bei der Berechnung von

x_{0}

sollte im Nenner

- 2

stehen (statt

- 1),

aber das ist sicher nur ein Druckfehler, denn das Ergebnis ist richtig. Ich habe die Zeichnung mit GeoGebra erstellt.

Viele Grüße
Yokozuna

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