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Kubische Regression

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Tags: Sonstiges

derStein aktiv_icon

18:09 Uhr, 21.12.2013

Hallo Leute,

ich habe eine Aufgabe zur kubischen Regression (Ausgleichsfunktion) und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Aufgabe lautet:

Eine Glühlampe stellt einen nichtlinearen Widerstand dar. Der Widerstand steigt mit zunehmender Temperatur. Die Spannungs-Strom-Kennlinie lässt sich in guter Näherung mit einer kubischen Funktion U(I)=a*I^3 + c*I beschrieben.

Berechnen Sie die Parameter a und b der kubischen Ausgleichsfunktion für die folgenden Messwerte:

I [A]	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
U [V]	51	101	174	288	466

Als Ergebnis soll a=1518 und c=196 sein.

Mein Lösungsweg wäre über die Formel der Ausgleichsfunktion, wobei

I=x

U=y ist.

$\begin{matrix} Σ x^{6} * a & Σ x^{5} * b & \begin{matrix} Σ x^{4} * c & Σ x^{3} * d \end{matrix} \\ Σ x^{5} * a & Σ x^{4} * b & \begin{matrix} Σ x^{3} * c & Σ x^{2} * d \end{matrix} \\ \begin{matrix} Σ x^{4} * a \\ Σ x^{3} * a \end{matrix} & \begin{matrix} Σ x^{3} * b \\ Σ x^{2} * b \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} Σ x^{2} * c \\ Σ x * c \end{matrix} & \begin{matrix} Σ x * d \\ n * d \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} = \begin{matrix} Σ x^{3} * y \\ \begin{matrix} Σ x^{2} * y \\ \begin{matrix} \begin{matrix} Σ x * y \end{matrix} \\ Σ y \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$

Da laut der obrigen, gegebenen Funktion b und d gleich Null ist, kommt ein Gleichungsystem mit 4 Gleichungen und 2 Unbekannten heraus. Über einen Matrix-Lösungsweg bin ich auch nicht ans Ziel gekommen .

Mir gehts mehr um den Lösungsweg, als um das genaue Ergebnis ...

Habt ihr eine Idee??? Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

18:43 Uhr, 21.12.2013

ich beantworte zwar nicht deine Frage, aber z.B. Excel liefert dir doch alles:

pleindespoir aktiv_icon

19:59 Uhr, 21.12.2013

Ich beantworte die Frage auch nicht ...

... von der Physik her ist die Näherung an eine Polynomfunktion in diesem Fall nicht geschickt. Ich würde da eher mit einer Exponentialfunktion herangehen.

pleindespoir aktiv_icon

20:08 Uhr, 21.12.2013

Hier wird das Prinzip erklärt:

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/regr.htm

händisch berechnen ist ziemlicher Wahnsinn - das macht heut niemand mehr !

anonymous

01:05 Uhr, 22.12.2013

Hallo
@Irrsinn
Du schlägst den Excel-Automatismus vor. Dieser verfolgt automatisch den Ansatz:

U = A \cdot x^{3} + B \cdot x^{2} + C \cdot x + D

Das passt nicht zum Ansatz, den derStein nutzen will oder muss:
Ansatz:

U = a \cdot I^{3} + c \cdot I

@Pleindespoir
Du sagst:
"händisch berechnen ist ziemlicher Wahnsinn - das macht heut niemand mehr!"
Sorry, dass ich widersprechen muss.
Da mir eben gerade auf die Schnelle auch kein Automatismus - sei es Excel oder sonst ein Programm - zur Verfügung steht, warum nicht schnell in 5 bis

10

Zeilen selbst herleiten.

Also:

U = a \cdot I^{3} + c \cdot I

Fehlerquadratsumme:

F = \sum {[a \cdot I^{3} + c \cdot I - U]}^{2}

dF/da

= 0 = \sum 2 \cdot [a \cdot I^{3} + c \cdot I - U] \cdot I^{3}

\to

0 = a \cdot \sum (I^{6}) + c \cdot \sum (I^{4}) - \sum (U \cdot I^{3})

dF/dc

= 0 = \sum 2 \cdot [a \cdot I^{3} + c \cdot I - U] \cdot I

\to

0 = a \cdot \sum (I^{4}) + c \cdot \sum (I^{2}) - \sum (U \cdot I)

D . h

. zwei Gleichungen für zwei Unbekannte

(a, c)

>

Gleichungen geschickt explizit nach a und

c

auflösen.

>

Dann (zB. mit Tabellenkalkulationsprogramm für geübte Hände in 5 Minuten) die Werte ausrechnen.

pleindespoir aktiv_icon

01:16 Uhr, 22.12.2013

" in guter Näherung mit einer kubischen Funktion U(I)=a*I^3 + c*I"

ich habe das garnicht überrissen, dass bei der Aufgabe das quadratische und das absolute Glied nicht gefragt sind.

Dadurch wird es zur netten Matheaufgabe, aber von "guter" Näherung kann man da wirklich nicht mehr sprechen.

anonymous

10:36 Uhr, 22.12.2013

ich muss gestehen: auch ich habe die Aufgabenstellung nicht hinreichend sorgfältig gelesen, habe aber gleich betont: "...ich beantworte deine Frage nicht." Mir kam halt sofort "Trendlinie (polynomisch)" ins Gedächtnis.

@cube2
deine Herleitung ist wirklich nicht lang und einfach nachzuvollziehen. Recht so!

derStein aktiv_icon

10:42 Uhr, 24.12.2013

Ich danke euch für euren Einsatz und eure Hilfe.

Danke cube2 für deine Herleitung ... es hat jetzt bei mir klick gemacht!!!

Wünsch euch schöne Weihnachten!!!

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