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Kugelgleichung aus 2 Pkt, auf deren g M liegt.

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Gerade, Kugelgleichung, Mittelpunkt, Punkt

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15:57 Uhr, 28.02.2016

Hallo
Habe die Punkte

A (- 8, 5, 7)

und

B (- 12, 8, 10)

gegeben.
Auf der Gerade, die durch diese Punkte geht, sollen die Mittelpunkte

M

der Kugeln liegen.
Jetzt soll ich:

a)

Die Gleichungen dieser Kugeln bestimmen

b)

Den Mittelpunkt der Kugel mit dem Radius 6 aus Teilaufgabe

a)

bestimmen, die den Ursprung berührt und zeigen dass sich diese beiden Kugeln schneiden.

Wie muss ich hier vorgehen? Kann mir das jemand an diesem Beispiel zeigen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

16:39 Uhr, 28.02.2016

Hallo,

die Kugelgleichung ist:

{(x - x_{M})}^{2} + {(y - y_{M})}^{2} = r^{2}

Mit A und

B

sollst Du nun

y_{M} = m \cdot x_{M} + n

ermitteln und für

y_{M}

einsetzen!

Bei

b)

sollst Du wohl die Mittelpunkte der beiden Kugeln ermitteln, die vom Ursprung den Abstand 6 haben (Löse:

x_{M}^{2} + {(m \cdot x_{M} + n)}^{2} = 36)

und dann die beiden Kugelgleichungen zur Ermittlung der Schnittmenge hernehmen. Aber es geht auch einfacher: Da beide Kugeln den Ursprung berühren, ist die Schnittmenge natürlich nicht leer. Aber wenn sie sich nur berühren und nicht schneiden, dann liegen die beiden Mittelpunkte und der Berührpunkt, also der Ursprung, auf einer gemeinsamen Geraden. Ist das nicht der Fall, berühren sich die Kugeln nicht, sondern schneiden sich. Die Gerade, auf der die beiden Mittelpunkte liegen ist bekannt, auf dieser Geraden muss auch der Ursprung liegen, wenn die Kugeln sich nur berühren sollen. Wenn aber der Ursprung auf der Geraden liegen soll, dann muss der Geradenparameter

n

gleich Null sein! Mit anderen Worten: Wenn

n

Null ist, berühren sich die beiden Kugeln nur, ist

n

ungleich Null, dann schneiden sich die Kugeln! Die Mittelpunkte der beiden Kugeln werden dafür eigentlich nicht gebraucht,da aber angegeben ist, dass sie zu bestimmen sind, ist die

⊙ a

. quadratische Glkeichung doch zu lösen und das dazugehörige

y_{M}

zu errechnen!

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17:05 Uhr, 28.02.2016

Ist (x-xM)²

+

(y-yM)² = r² nicht die Kreisgleichung?

Und was genau wären

m

und n?

Die andere Erklärung habe ich größtenteils verstanden, will bzw muss es aber auch so können wie die Aufgaben ursprünglich gestellt waren.. Danke schonmal :-)

rundblick aktiv_icon

17:53 Uhr, 28.02.2016

.
"die Kugelgleichung ist:....... "
(siehe Bummerang - leider nicht sichtbar ob er noch herumschleicht..)

@ SlashFlash :

1) \to

du hast natürlich Recht :

\to

Bummerang sieht das mal wieder etwas zu flach ..
seine Kreise musst du erst noch in die dritte Dimension zu Kugeln aufblasen..

2) \to

aber egal, Bummerang hat wohl eh deinen Aufgabentext nicht gelesen ..
.. denn du solltest die Aufgabe erst mal klar notieren

(\to

vollständiger Originaltext !?)
erst dann wird eine vernünftige Antwort möglich.

siehe:

" Habe die Punkte

A (- 8,5,7)

und

B (- 12,8,10)

gegeben.
Auf der Gerade, die durch diese Punkte geht,
sollen die Mittelpunkte

M

der Kugeln liegen.

\to ... ... ... .

. WELCHER KUGELN ?
Jetzt soll ich:

a)

Die Gleichungen dieser Kugeln bestimmen" ..

\to ... ... ... ...

. "

. .

b)

Den Mittelpunkt der Kugel mit dem Radius 6 aus Teilaufgabe

a)

bestimmen,
die den Ursprung berührt und zeigen dass sich diese beiden Kugeln schneiden.

... ... .

. WELCHE BEIDEN KUGELN ?

usw..

also:
schreib bitte den Text ausführlich auf

\to .

.
da gibt es doch sicher noch eine weitere, genauere Info zu

\to

WELCHE KUGELN

. .

?

.

Femat aktiv_icon

20:45 Uhr, 28.02.2016

Ich versteh die Aufgabe so

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21:31 Uhr, 28.02.2016

Hier mal die Aufgabe wie sie im Buch steht:

(Nummer

11)

Stephan4

21:32 Uhr, 28.02.2016

Man kann hier

z . B

. mit folgender Überlegung vorgehen:

Wenn der bekannte gemeinsame Punkt der Kugeln genau zwischen deren Mittelpunkten

M_{1}

und

M_{2}

liegt, also

\frac{M_{1} + M_{2}}{2} = O,

berühren die Kugeln einander.

Die Mittelpunkte

M_{1}

und

M_{2}

der gesuchten Kugeln liegen auf der Geraden

\vec{M} = \vec{A} + s \cdot \vec{A B}

und haben vom Ursprung den Abstand 6:

| \vec{M} | = 6

\to s_{1} = - 3, s_{2} = - 1 \to M_{1}, M_{2}

:-)

rundblick aktiv_icon

22:15 Uhr, 28.02.2016

.
" Hier mal die Aufgabe wie sie im Buch steht:"

wau !

... . .

... ...

... ...

. .

. was ist das denn für ein Buch ?

Beispiele:

\to

" die Mittelpunkte der Kugeln mit dem Radius 6 aus Teilaufgabe

a)

bestimmen,
die den Ursprung berühren "

berührend auf den Punkt gebracht

\to

Klartext: der Urprung liegt auf der Kugeloberfläche - salopp: die Kugel geht durch den Ursprung ..

\to

"und zeigen Sie dass die beiden Kugeln sich schneiden."

witzig? -
- beide Kugeln gehen doch durch den Ursprung ?! (dh:

\to

also schon alles klar

! . .)

. .

. und schneiden -nicht sich- sondern einander ..

aber egal:
zur Lösungsidee:

1) \to

ermittle die Durchstosspunkte der Geraden g=AB durch die Kugel

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 36

2)

diese 2 Durchstosspunkte sind die Mittelpunkte der beiden gesuchten Kugeln

\to

Muster

\to M (x_{m}; y_{m}; z_{m})

3)

setze die gefundenen Durchstosspunkt-Koordinaten ein in die Kugel-Gleichungsschablone

\to

{(x - x_{m})}^{2} + {(y - y_{m})}^{2} + {(z - z_{m})}^{2} = 36

fast fertig ..

nur noch kurz zu Teil

a)

der Aufgabe:
alle diese gesuchten Kugeln erfüllen diese Gleichung

\to

{(x + 8 + 4 t)}^{2} + {(y - 5 - 3 t)}^{2} + {(z - 7 - 3 t)}^{2} = 36

. .

. .. mit

t \in R

ok?
.

Atlantik aktiv_icon

12:48 Uhr, 29.02.2016

2 D

Optik hieße die Aufgabe so:

Gegeben sind die Punkte

A (- 8 | 5)

und

B (- 12 | 8)

. Betrachtet werden die Kreise deren Mittelpunkte auf der Geraden durch A und

B

liegen.

a)

Bestimmen Sie die Gleichungen dieser Kreise.

b)

Bestimmen Sie die Mittelpunkte der Kreise mit dem Radius 6 aus Teilaufgabe

a),

die den Ursprung berühren. Zeigen Sie, dass die beiden Kreise sich schneiden.

a)

Allgemeine Kreisgleichnung:

{(x - x_{M})}^{2} + {(y - y_{M})}^{2} = r^{2}

Gerade durch A und

B \to f (x) = - \frac{3}{4} x - 1

f (x_{M}) = - \frac{3}{4} x_{M} - 1

- \frac{3}{4} x_{M} - 1 = y_{M}

{(x - x_{M})}^{2} + {[y - (- \frac{3}{4} x_{M} - 1)]}^{2} = r^{2}

b) r = 6

und Berührung in

U (0 | 0)

{(0 - x_{M})}^{2} + {[0 - (- \frac{3}{4} x_{M} - 1)]}^{2} = 36

x_{M}^{2} + {[\frac{3}{4} x_{M} + 1]}^{2} = 36

x_{M}^{2} + \frac{9}{16} x_{M}^{2} + \frac{3}{2} x_{M} + 1 = 36

\frac{25}{16} x_{M}^{2} + \frac{3}{2} x_{M} = 35

Mit Wolfram:

x_{M_{1}} = - \frac{12}{25} - \frac{8}{25} \cdot \sqrt{221} \approx - 5,237 \to y_{- 5,237} = - \frac{3}{4} \cdot (- 5,237) - 1 \approx 2,93

x_{M_{2}} = - \frac{12}{25} + \frac{8}{25} \cdot \sqrt{221} \approx 4,277 \to y_{4,277} = - \frac{3}{4} \cdot (4,277) - 1 \approx - 4,21

Nun die beiden Kreise bestimmen, zum Schnitt bringen...

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

rundblick aktiv_icon

12:58 Uhr, 29.02.2016

.
- oh Jammer

! \to

Atlantik sondert seine hier völlig unangebrachte

2 D

Optik ab..
fleissig, aber leider mal wieder neben dem Thema ..

nun ja, über solch geniale Lehrer kommt halt einfach Freude auf .
.

Atlantik aktiv_icon

13:43 Uhr, 29.02.2016

.
"- oh Jammer !→

Atlantik sondert seine hier völlig unangebrachte

2 D

Optik ab..
fleissig, aber leider mal wieder neben dem Thema ..

nun ja, über solch geniale Lehrer kommt halt einfach Freude auf ."

Ich habe

b e w u s s t

die Aufgabe auf Kreise umgeschrieben.Mir ist schon klar, dass Kugeln keine Kreise sind, aber eine Ähnlichkeit lässt sich nun nicht abstreiten.

mfG

Atlantik

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17:26 Uhr, 29.02.2016

Alle meinen hier es sind zwei Kugeln... aber liegen nicht unendlich viele Kugeln auf der Gerade zwischen A und

B,

da der Mittelpunkt ja irgendwo dort liegen darf?

Und habe jetzt einmal die komplette Lösung für ein

2 D

Modell, jedoch immer nur Bruchstücke für die Lösung eines

3 D

Modells... kann mir das vllt mal jemand beispielhaft vorrechnen?

Stephan4

17:56 Uhr, 29.02.2016

Du hast die Fragenstellung verändert. In deinem Fragestatement steht: "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Das habe ich beantwortet:

21 : 32

Uhr,

28.02.2016

Du musst die Formeln nur mit Koordinaten zum Leben erwecken.
Für

\vec{M}

kannst Du zB

x_{M}, y_{M}

und

z_{M}

schreiben.

Kannst Du das?

Die Zwischenergebnisse habe Dir zum Vergleichen aufgeschrieben.

Und jetzt schreibst Du:
"kann mir das vllt mal jemand beispielhaft vorrechnen?"

Sicher kann ich. Wo soll ich weiter machen? Wie weit bist Du gekommen?

:-)

rundblick aktiv_icon

18:09 Uhr, 29.02.2016

.
" Alle meinen hier es sind zwei Kugeln...
aber liegen nicht unendlich viele Kugeln auf der Gerade zwischen A und

B,

da der Mittelpunkt ja irgendwo dort liegen darf?"

wau !

1) \to

falls du lesen kannst:
ich habe dir oben (als Antwort zum Teil a der Aufgabe)

\to

ALLE möglichen
Kugeln notiert

(\to

für jeden Wert von

t \in R

bekommst du dort eine andere Kugel
mit Mittelpunkt auf g=AB .. UND DAS SIND also NICHT NUR ZWEI KUGELN

!)

und wenn du dort statt

r = 6

noch

r \in R (

r

als beliebigen Parameter) einsetzt
bekommst du noch mehr Kugeln , also die allgemeinste Antwort zum ersten Teil deiner Aufgabe.

2) \to

als Lösung für den zweiten Teil (Kugeln mit

M

auf g=AB und Radius

r = 6),

... . .

\to

die ausserdem durch den Ursprung gehen sollen

\to

da bekommst du wirklich
NUR ZWEI Lösungen .. und die stehen oben auch schon erklärt!

falls du also statt zu mäkeln selbst noch die entstehende quadratische Gleichung
lösen könntest, dann hast du die beiden (auch schon erwähnten) Werte für

t,

die dir diese beiden konkreten Kugeln liefern.

also streng dich bitte etwas an..
.

Atlantik aktiv_icon

18:29 Uhr, 29.02.2016

"Alle meinen hier es sind zwei Kugeln... aber liegen nicht unendlich viele Kugeln auf der Gerade zwischen A und

B,

da der Mittelpunkt ja irgendwo dort liegen darf?"

Ich meine das nicht, wie ich bei meiner auf Kreise reduzierten Aufgabe vorgerechnet habe.

Es gibt unendlich viele Kugeln mit unendlich vielen Radien, die auf der Geraden durch A und

B

liegen. Von diesen Kugeln sollen nun die Kugel herausgefunden werden, die den Radius

r = 6

haben und den Ursprung berühren.

Das sind dann eben nur 2 Kugeln, die diese Voraussetzung erfüllen. Wie bei mir die beiden grün eingezeichneten Kreise beide Radius

r = 6

und beiden gehen durch den Ursprung.
Dann war weiter verlangt, die Schnittpunkte der beiden Kugeln zu bestimmen. Mir gelingt dies mit meiner Vereinfachung auf 2 Kreise, die einander in 2 Punkten schneiden:

[

U (0 | 0)

und

K (- 0,94 | - 1,25)

.

Ich mutmaße, dass alle Schnittpunkte der beiden Kugeln auf einem Kreis mit Mittelpunkt zwischen

U

und

K

liegen.

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

21:14 Uhr, 29.02.2016

Ich habe mal 2 Kugeln im

x y -

Schnitt aufgezeichnet. In der

x y

Ebene gibt es 2 Schnittpunkte

S_{1}

und

S_{2}

.

In der

y z

Ebene liegen demnach die Schnittpunkte der beiden Kugeln auf einem Kreis mit

U (0 | 0 | 0)

und

r = 4 L E

Ich denke, dass es sich hierbei um den Kreis

y^{2} + z^{2} = 9

handelt.

mfG

Atlantik

Z e i c h n u n g :

maxsymca

19:56 Uhr, 01.03.2016

Hallo SlashFlash,

verrate mir doch bitte aus welchem Buch die Aufgabe ist. Ich würde sie gerne in meine Sammlung aufnehmen: tube.geogebra.org/material/simple/id/2776553
Vielleicht hilft Dir die Kommentierung weiter?

mac

Stephan4

21:15 Uhr, 01.03.2016

a)

{(x - (- 8 - 4 s))}^{2} + {(y - (5 + 3 s))}^{2} + {(z - (7 + 3 s))}^{2} = r^{2}

b)

Hier meine Antwort

21 : 32

Uhr,

28.02.2016

kopierfertig ausgerechnet:

\vec{M} = \vec{A} + s \cdot \vec{A B}

(\begin{matrix} x_{M} \\ y_{M} \\ z_{M} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 \\ 5 \\ 7 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

| \vec{M} | = 6

| (\begin{matrix} - 8 - 4 s \\ 5 + 3 s \\ 7 + 3 s \end{matrix}) | = \sqrt{{(- 8 - 4 s)}^{2} + {(5 + 3 s)}^{2} + {(7 + 3 s)}^{2}} = 6

34 s^{2} + 136 s + 102 = 0

s_{1} = - 1 s_{2} = - 3

M_{1} = (\begin{matrix} - 4 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) M_{2} = (\begin{matrix} 4 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix})

\frac{M_{1} + M_{2}}{2} = (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) \neq (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Viel Glück!

:-)

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