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Kuhn Tucker Bedingungen aufstellen und lösen

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Tags: Kuhn-Tucker, Optimierung, Sonstig

 
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potu1304

potu1304 aktiv_icon

19:41 Uhr, 11.03.2017

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Hallo!

Folgendes Problem ist gegeben:

x+5y→min
x2+y2≤25
y≤-4

Nun soll ich die KKT Bedingung aufstellen und das lösen. Hier mein Ansatz:

∇F(x,y)=(1,5)
gradien g1(x,y)=(2x,2y)
∇g2(x,y)=(0,1)

nun die KKT Bedingungen:

(1,5)+u1(2x,2y)+u2(0,1)=(0,0)
u1(x2+y2-25)=0
u2(y-4)=0
u1,u2≥0

den weiteren weg habe ich noch nicht ganz durchblickt. Wie komme ich nun auf die Lösung bzw. auf Kandidaten. Ich weiß, dass ich nun verschiedene Fälle aufstellen und diese durchgehen muss. Nur wie stelle ich diese auf? Oder muss ich davor noch etwas tun?

Danke und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:25 Uhr, 12.03.2017

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Hallo potu1304,

die dritte Gleichung bei KKT sollte u2(y+4)=0 heißen.

Der Untersuchungs-Bereich ist der durch die Sekante y=-4
gegebene untere Abschnitt der Kreisscheibe x2+y2≤25.

Es gibt insgesamt 4 verschiedene Fälle zu betrachten:
Fall 1: u1=u2=0.
Hier betrachtet man die inneren Punkte (x,y) des Untersuchungs-Bereichs,
für die also gilt x2+y2<25 und y<-4.
Fall 2: u1=0, u2>0. Nun befindet man sich auf dem unter der Sehne
liegenden Kreisrand mit Ausnahme der beiden Sehnenendpunkte.
Fall 3: u1>0, u2=0. Diese Punkte liegen auf der Sehne,
sind aber nicht ihre Endpunkte.
Fall 4: u1>0, u2>0. Dies sind die beiden Punkte, in denen die
Sehne den Kreis schneidet (-3,-4) und (3,-4).

Gruß ermanus
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