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Kurvenabstand mittles Lagrange-Multiplikatoren

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Anstand Kurven, Lagrang'sche Multiplikatoren, Optimierung, Partielle Differentialgleichungen

lifescience aktiv_icon

09:57 Uhr, 07.11.2016

Hallo.
Aufagbenstellung: Bestimmen Sie den Abstand zwischen den Kurven

y = x^{2}

und

x - y = 5

indem Sie folgendes Optimierungsproblem mithilfe der Multiplikatorregel von Lagrange lösen:

min ({(x 1 - x 2)}^{2} + {(y 1 - y 2)}^{2})

unter den Nebenbedingungen

x 1^{2} - y 1 = 0

und

x 2 - y 2 - 5 = 0

.

Ich weiß gar nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll. Wofür dienen die beiden ersten beAngaben über die Kurven? Und wo setz ich diese ein bzw wo werden diese Angaben benötigt?
Ich würde die Lagrange Funktion aufstellen und dann partiell ableiten. Ich bekomme also 6 verschiedene Gleichungen, komme leider aber auf keine einzige Variable

x 1, x 2, y 1, y 2,

λ1 und λ2.

Wie muss ich hier arbeiten?

Über eine schnelle Antwort würde ich mich freuen. Ich erarbeite auch gerne zusammen die Lösung.

Yokozuna aktiv_icon

13:54 Uhr, 07.11.2016

Hallo,

"Wofür dienen die beiden ersten Angaben über die Kurven? Und wo setz ich diese ein bzw wo werden diese Angaben benötigt?"

Das steht doch in der Aufgabenstellung:

"Aufgabenstellung: Bestimmen Sie den Abstand zwischen den Kurven

y = x^{2}

und

x - y =

5"

Die beiden Kurven (bzw. eine Kurve und eine Gerade) sind doch die Hauptdarsteller der Aufgabe. Man soll den kleinsten Abstand zwischen diesen beiden Kurven berechnen. Dazu betrachten wir einen Punkt

(x_{1}, y_{1}),

der auf der Kurve

y = x^{2}

liegt sowie einen Punkt

(x_{2}, y_{2}),

der auf der Kurve

x - y = 5

liegt.

Wenn

(x_{1}, y_{1})

auf der Kurve

y = x^{2}

liegen soll, muss doch gelten

y_{1} = x_{1}^{2}

bzw.

x_{1}^{2} - y_{1} = 0

Das ist genau die erste Nebenbedingung.
Und analog muss für den Punkt

(x_{2}, y_{2})

gelten

x_{2} - y_{2} = 5

bzw.

x_{2} - y_{2} - 5 = 0

Das ist die zweite Nebenbedingung.

Der Abstand zwischen den beiden Punkten

(x_{1}, y_{1})

und

(x_{2}, y_{2})

ist gemäß Onkel Pythagoras

d = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}

Dieser Abstand soll minimiert werden. Da aber

d

genau dann minimal ist, wenn auch

d^{2}

minimal ist, wird statt

d

eben

d^{2} = {(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}

minimiert. Das liefert die gleichen Lösungen, die Ableitungen sind dann aber viel einfacher.

Für die Auflösung des Gleichungssystems, das sich bei der Lagrangemethode ergibt, gibt es kein Patentrezept. Man kann versuchen eine Variable nach der anderen zu eliminieren. Das gelingt noch am leichtesten bei den Lagrangemultiplikatoren, da diese immer nur in der 1. Potenz auftreten.

Bei dieser Aufgabe würde ich zuerst die Gleichungen

L_{x_{1}} = 0

und

L_{x_{2}} = 0

sowie die Gleichungen

L_{y_{1}} = 0

und

L_{y_{2}} = 0

jeweils addieren.

Viele Grüße
Yokozuna

Atlantik aktiv_icon

14:29 Uhr, 07.11.2016

Lösung auf herkömmlichem Weg zur Kontrolle deines Ergebnisses:

f (x) = x^{2}

g (x) = x - 5

f (x) = g (x)

x^{2} = x - 5

x^{2} - 1 x + \frac{1}{4} = - 5 + \frac{1}{4} = - \frac{19}{4} = \frac{19}{4} i^{2}

{(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{19}{4} i^{2}

x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2} \sqrt{19}

x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{i}{2} \sqrt{19}

B (\frac{1}{2} | \frac{1}{4})

Normale zur Tangente:

\frac{y - \frac{1}{4}}{x - \frac{1}{2}} = - 1

y = \frac{3}{4} - x

Schnitt mit

g (x) :

x - 5 = \frac{3}{4} - x

x = \frac{23}{8}

y = \frac{3}{4} - \frac{23}{8} = - \frac{17}{8}

d = \sqrt{{(2,88 - 0,5)}^{2} + {(- 2,13 - 0,25)}^{2}} \approx 3,36

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

lifescience aktiv_icon

16:36 Uhr, 07.11.2016

Ich komme leider trotzdem nicht weiter mit dem Gleichungssystem

\frac{:}{}

Yokozuna aktiv_icon

21:46 Uhr, 07.11.2016

Also die Aussage

"Ich komme leider trotzdem nicht weiter mit dem Gleichungssystem "

ist doch sehr pauschal. Kannst Du nicht etwas konkreter sagen, wo es klemmt?

Ich hatte ja am Schluss meines letzten Beitrags einen Vorschlag gemacht (Addieren der Gleichungen

L_{x_{1}} = 0

und

L_{x_{2}} = 0

sowie Addieren der Gleichungen

L_{y_{1}} = 0

und

L_{y_{2}} = 0)

. Das ist keine große Arbeit und sollte eigentlich von jedem machbar sein. Was bekommst Du da heraus? Auf Basis dieses Ergebnisses würde ich Dir dann erklären, wie es weiter geht.

Mit diesem Vorschlag möchte ich Dich gern dazu animieren, selbst ein wenig zur Lösung des Problems beizutragen, denn ich hatte eigentlich nicht vor, die ganze Aufgabe vorzurechnen.

Viele Grüße
Yokozuna

lifescience aktiv_icon

10:25 Uhr, 08.11.2016

I+II)

4 x 1 - 4 x 2

+2x1λ1 +λ2

= 0

III+ IV)

4 y 1 - 4 y 2

-λ1 -λ2

= 0

V) x 1^{2} - y 1 = 0

VI)

x 2 - y 2 - 5 = 0

hier komme ich nicht weiter..
ich habe es auch schon mit
I-II)

2 x 1 \cdot

λ1 - λ2=0 und III-IV) -λ1

+

λ2

= 0

probiert, aber ich habe immer mindestens zwei unbekannte pro Gleichung.

Yokozuna aktiv_icon

11:29 Uhr, 08.11.2016

Du hast da offensichtlich bei Gleichung II und Gleichung IV jeweils einen Vorzeichenfehler. Deshalb kommst Du mit meinem Vorschlag nicht weiter. Meine Lagrangefunktion lautet:

L (x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}, λ_{1}, λ_{2}) = {(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + λ_{1} \cdot (x_{1}^{2} - y_{1}) + λ_{2} \cdot (x_{2} - y_{2} - 5)

Die Ableitungen sind dann:

I.

L_{x_{1}} = 2 \cdot (x_{1} - x_{2}) + 2 \cdot λ_{1} \cdot x_{1} = 0

II.

L_{x_{2}} = - 2 \cdot (x_{1} - x_{2}) + λ_{2} = 0

III.

L_{y_{1}} = 2 \cdot (y_{1} - y_{2}) - λ_{1} = 0

IV.

L_{y_{2}} = - 2 \cdot (y_{1} - y_{2}) - λ_{2} = 0

L_{λ_{1}} = x_{1}^{2} - y_{1}

VI.

L_{λ_{2}} = x_{2} - y_{2} - 5

Bei II und IV hast Du wohl das Minuszeichen vor dem ersten Term vergessen, denn nach der Kettenregel gilt ja

\frac{\partial}{\partial x_{2}} ({(x_{1} - x_{2})}^{2}) = 2 \cdot (x_{1} - x_{2}) \cdot \frac{\partial}{\partial x_{2}} (x_{1} - x_{2}) = 2 \cdot (x_{1} - x_{2}) \cdot (- 1) = - 2 \cdot (x_{1} - x_{2})

Bei mir ergibt dann
I+II:

2 \cdot λ_{1} \cdot x_{1} + λ_{2} = 0

und

III+IV:

- λ_{1} - λ_{2} = 0

Aus der letzten Gleichung folgt sofort

λ_{2} = - λ_{1}

Damit kann ich schon mal überall

λ_{2}

eliminieren, also

I+II:

2 \cdot λ_{1} \cdot x_{1} + λ_{2} = 2 \cdot λ_{1} \cdot x_{1} - λ_{1} = λ_{1} \cdot (2 \cdot x_{1} - 1) = 0

Aus der letzten Gleichung folgt, dass entweder

λ_{1} = 0

ist oder

2 \cdot x_{1} - 1 = 0

ist.

Mal bis hier hin. Wenn Du mit meinen Ausführungen einverstanden bist, dann machen wir weiter, ansonsten einfach nachfragen.

Viele Grüße
Yokozuna

lifescience aktiv_icon

12:14 Uhr, 08.11.2016

Richtig, danke. Da hab ich wohl das Minus vergessen. Wie geht es denn jetzt weiter? Muss ich eine Fallunterscheidung machen?

Yokozuna aktiv_icon

14:11 Uhr, 08.11.2016

Zunächst noch folgender Rat: Wenn immer man eine Gleichung der Form

Ausdruck

= 0

hat und man den Ausdruck in Faktoren zerlegen kann:

(...) \cdot (...) \cdot ... \cdot (...) = 0

dann sollte man das tun. Man muss dann zwar Fallunterscheidungen machen, aber die Ausdrücke in jeder dieser Klammern ist auf jeden Fall einfacher, als der ursprüngliche Ausdruck.

Auch wir haben hier faktorisiert, also machen wir auch eine Fallunterscheidung.

1. Fall:

λ_{1} = 0

und wegen

λ_{2} = - λ_{1}

ist dann auch

λ_{2} = 0

. Wenn man

λ_{1} = λ_{2} = 0

in die ersten vier Gleichungen einsetzt, was steht dann noch da und was kann man daraus für eine Schlussfolgerung ziehen? Gibt es in diesem Fall eine Lösung?

(ich sage schon mal vorweg, dass es keine Lösung gibt).

2. Fall:

2 \cdot x_{1} - 1 = 0 \Rightarrow x_{1} = \frac{1}{2} \Rightarrow

wegen V.

y_{1} = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}

Diese Werte für

x_{1}

und

y_{1}

kann man nun in alle Gleichungen einsetzen. Dabei wird man feststellen, dass jeweils I und II sowie III und IV bis auf da Vorzeichen gleich sind. Wir brauchen deshalb nur jeweils eine der beiden Gleichungen berücksichtigen. Man hat letztendlich 3 Gleichungen für

x_{2}, y_{2}

und

λ_{1}

(oder

λ_{2},

je nach Geschmack).

λ_{1}

kann man leicht eliminieren und dann hat man noch zwei lineare Gleichungen für

x_{2}

und

y_{2},

die einfach zu lösen sind.

Viele Grüße
Yokozuna

lifescience aktiv_icon

14:59 Uhr, 08.11.2016

Dann danke für die Hilfe!

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