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Kurvenintegral entlang einer Ellipse

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Ellipse, Integration, Kurvenintegral

Supermama aktiv_icon

21:29 Uhr, 18.11.2014

Hallo!
Ich soll eine Aufgabe berechnen, habe aber irgendwie kein Ahnung, wie ich das lösen soll.

Bestimmen Sie

\int_{C} (\begin{matrix} cos (x) \cdot cosh (y) \\ sin (x) \cdot sinh (y) \end{matrix}) d \vec{r}

mit dem Integrationsweg

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

(mathematisch positiv orientiert) mit

a, b > 0

.

Also die Parametrisierung einer Ellipse ist ja

\vec{r} (t) = (\begin{matrix} a \cdot cos (t) \\ b \cdot sin (t) \end{matrix})

.

Aber so richtig weiß ich dann auch nicht weiter, da ja ein ziemlich komplizierter Ausdruck entsteht. Oder sollte ich die Potentialfunktion finden und damit weiterarbeiten?
Hat da jemand eine Idee?
Ich wäre wirklich froh, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte. :-)

Yokozuna aktiv_icon

22:03 Uhr, 18.11.2014

Hallo,

also ich würde die von Dir genannte Parametrisierung für die Ellipse verwenden und das mal in das Integral einsetzen. Der entstehende Ausdruck für den Integrand sieht auf den ersten Blick kompliziert aus. Aber wenn man sich den Ausdruck mal ganz genau anschaut, dann ist die Integration doch deutlich einfacher, als es zuerst aussieht.

Viele Grüße
Yokozuna

Supermama aktiv_icon

14:29 Uhr, 19.11.2014

Ok also

\vec{r}' (t) = (\begin{matrix} - a \cdot sin (t) \\ b \cdot cos (t) \end{matrix})

Also wird das

\int_{C} \vec{F} d \vec{r}

\int_{0}^{2 π} < (\begin{matrix} cos (a \cdot cos (t)) \cdot cosh (b \cdot sin (t)) \\ sin (a \cdot cos (t)) \cdot sinh (b \cdot sin (t)) \end{matrix}), (\begin{matrix} - a \cdot sin (t) \\ b \cdot cos (t) \end{matrix}) > d t

und dann

\int_{0}^{2 π} (- cos (a \cdot cos (t)) \cdot cosh (b \cdot sin (t)) \cdot a \cdot sin (t) + sin (a \cdot cos (t)) \cdot sinh (b \cdot sin (t)) \cdot b \cdot cos (t)) d t

dann würde ich

cosh (b \cdot sin (t))

durch

\frac{1}{2} \cdot (e^{b \cdot sin (t)} + e^{- b \cdot sin (t)})

ersetzen und das gleiche auch noch für

sinh

machen. dann komme ich auf

\int_{0}^{2 π} (\frac{b}{2} \cdot sin (a \cdot cos (t)) \cdot e^{b \cdot sin (t)} \cdot cos (t) - \frac{a}{2} \cdot cos (a \cdot cos (t)) \cdot e^{b \cdot sin (t)} \cdot sin (t) - \frac{b}{2} \cdot sin (a \cdot cos (t)) \cdot e^{- b \cdot sin (t)} \cdot cos (t) - \frac{a}{2} \cdot cos (a \cdot cos (t)) \cdot e^{- b \cdot sin (t)} \cdot sin (t)) d t

Ich würde dabei ja an das Aditionstheorem

sin (x \pm y) = sin (x) cos (y) \pm cos (x) \cdot sin (y)

denken. aber mich stören ja die Konstanten a und

b

dabei oder?

Yokozuna aktiv_icon

15:01 Uhr, 19.11.2014

Nein, das geht viel einfacher. Schau Dir den Integrand noch einmal genau an (ich habe da die Reihenfolge einiger Faktoren mal bewusst vertauscht) :

cos (a \cdot cos (t)) \cdot (- a \cdot sin (t)) \cdot cosh (b \cdot sin (t)) + sin (a \cdot cos (t)) \cdot sinh (b \cdot sin (t)) \cdot b \cdot cos (t)

Da steht etwas von der Gestalt

u' \cdot v + u \cdot v' = (u \cdot v)',

Stichwort Produktregel. Jetzt musst Du nur noch herausfinden, was

u

und was

v

ist.

Viele Grüße
Yokozuna

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21:09 Uhr, 19.11.2014

Vielen vielen Dank für die Mühe! :-) Darauf wär ich von alleine nie gekommen ;-)

Also

u = sin (a \cdot cos (t))

und

v = cosh (b \cdot sin (t))

Also kommt man dann dazu:

\int_{0}^{2 π} (sin (a \cdot cos (t)) \cdot cosh (b \cdot sin (t)))' d t

= [sin (a \cdot cos (t)) \cdot cosh (b \cdot sin (t))] (

in den Grenzen von 0 bis

2 π)

stimmt das denn so? jetzt müsste ich also nur noch

2 π

und 0 einsetzen?

Yokozuna aktiv_icon

21:43 Uhr, 19.11.2014

Ich glaube nicht, dass diese Konstellation häufig vorkommt, aber wenn man einen Integrand

Produkt von Funktionen

+

Produkt von Funktionen

hat, lohnt es sich doch hin und wieder, zu prüfen, ob vielleicht die Produktregel anwendbar ist.

Nun noch die Grenzen 0 und

2 π

einsetzen.

Viele Grüße
Yokozuna

Supermama aktiv_icon

21:54 Uhr, 19.11.2014

Ok vielen vielen Dank. Du hast mir wirklich weiter geholfen. Das Ergebnis dürfte ja dann 0 sein, wenn ich mich nicht täusche. Also nochmal vielen Dank! Ich hab an dieser Aufgabe echt graue Haare bekommen ;-)

Supermama aktiv_icon

21:54 Uhr, 19.11.2014

Yokozuna aktiv_icon

22:43 Uhr, 19.11.2014

Ja, Null ist richtig.

Viele Grüße
Yokozuna

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