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Kurvenschar aufstellen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Mathenull0520 aktiv_icon

17:30 Uhr, 12.09.2011

Eine Kurvenschar besteht aus Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades. Die Kurven der Schar haben einen Extrempunk auf der x-Achse und einen Extrempunkt auf der y-Achse. Alle Kurven der Schar gehen durch den Punkt

P (1 | 1)

.
Bestimmen sie die Kurvenschar.

Meine Bedinungen die ich herausbekomme :

Extrempunkte bei

(x | 0)

und

(0 | y) :

f (1) = 1 \to 1 = a + b + c + d

f (0) = d

0 =

ax³

+

bx²

+

+ d

f' (0) = c

als nächstes würde ich das

c = 0

in die anderen gleichungen einsetzen

Dann habe ich folglich noch 3 Bedingungen :

1.

1 = a + b + d

f (0) = d

0 =

ax³

+

bx²

+ d

Aber wie geht es jetzt weiter ?!

MFG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

prodomo aktiv_icon

17:42 Uhr, 12.09.2011

Du hast bereits

c = 0

richtig erkannt. Bau das doch in

y'

ein,

d

fällt ja bei der 1. Ableitung weg. Dann kannst du mit

y' = 3 \cdot a \cdot x^{2} + 2 \cdot b \cdot x

das zweite Extremum angehen, indem du

x

ausklammerst. Für diesen zweiten x-Wert muss

y = 0

herauskommen !

Mathenull0520 aktiv_icon

17:53 Uhr, 12.09.2011

wenn ich

x

ausklammer steht dann ja da folgendes :

y' = x \cdot

(3ax

+ 2 b),

aber wie soll mich das dann weiterbringen ?

Danke schonmal :-)

prodomo aktiv_icon

18:04 Uhr, 12.09.2011

Ein Produkt ist Null.....

Mathenull0520 aktiv_icon

18:21 Uhr, 12.09.2011

Ein Produkt ist 0 wenn einer der beiden Faktoren 0 ist, also

x = 0

oder (3ax

+ 2 b) = 0

ist...

Aber wieso darf ich die Ableitung

y' = 0

setzen, also

y' = x \cdot

(3ax

+ 2 b) = 0

oder wie meisnt du das ?

MFG

Gerd30.1 aktiv_icon

08:55 Uhr, 13.09.2011

Ein anderer Ansatz:

f (x) = a {(x - p)}^{2} \cdot (x - q) \Rightarrow

(1)

p \neq q

(2) f (1) = a {(1 - p)}^{2} \cdot (1 - q) \Rightarrow a = \frac{1}{{(1 - p)}^{2} \cdot (1 - q)} \Rightarrow p \neq 1; q \neq 1

(3) f' (x) = a (2 (x - p) (x - q) + {(x - p)}^{2}) = a (x - p) (3 x - 2 q - p),

also

f' (0) = a (- p) (- 2 q - p) = 0 \Rightarrow p = - 2 q \Rightarrow a = \frac{1}{{(1 + 2 q)}^{2} \cdot (1 - q)} \Rightarrow

f (x) = \frac{{(x + 2 q)}^{2} \cdot (x - q)}{{(1 + 2 q)}^{2} \cdot (1 - q)}

mit

q \neq 1

und

q \neq - \frac{1}{2}

prodomo aktiv_icon

09:37 Uhr, 13.09.2011

Schöner Ansatz von gerdware mit der doppelten Nullstelle ! Habe ihn weiterverfolgt mit

f' (x) = a \cdot [3 \cdot x^{2} - (2 \cdot q + 4 \cdot p) \cdot x + (p^{2} + 2 \cdot p \cdot q)]

Mit

f' (x) = 0

folgt dann

p \cdot (p + 2 \cdot q) = 0

.
Meiner Meinung nach scheidet

p = 0

als Möglichkeit aus, weil dann die doppelte Nullstelle im Ursprung läge und mit dem Extremwert auf der y-Achse die Funktionseigenschaft verloren gänge. Also bliebe

p = - 2 \cdot q

.
Jetzt

f (1) = 1

und für

p

einsetzen, liefert

a \cdot [1 - (q - 4 \cdot q) - 4 \cdot q^{3}] = 1,

daraus folgt

a = \frac{1}{1 + 3 \cdot q - 4 \cdot q^{3}}

. Jetzt gibt es nur noch den Parameter

q

. Sieht aber für eine Scharfunktion recht kompliziert aus.

Mathenull0520 aktiv_icon

14:55 Uhr, 14.09.2011

Vielen Dank für eure Mühen...

Ich habe die Aufgabe mitlerweile erfolreich gelöst :-)

Meine Lösung ist :

f_{a} (x) = 2

/((1-a)²(2-a))

\cdot

(x-a)²

(x + \frac{a}{2}); a \neq 1, a \neq 2

Meine Schritte :

Ansatz benutzt, Abgeleitet und 1. Extremum ausgenutzt

(x = 0 \to b

in anhängigkeit von

a)

und dann noch den punkt eingesetzt um auf

k

zu kommen :-)

VIelen Dank

!!!

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