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L^1 Norm beweisen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, L^p-Normen, Maß, Norm

 
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krueger

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13:19 Uhr, 15.12.2024

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Zeigen Sie, dass
∥[u]∥L1(µ)∶=inf{∥w∥ℒ1(µ);w∈[u]}
eine Norm auf L1(µ) definiert und dass
∥[u]∥L1(µ)=∥u∥ℒ1(µ),u∈L1(µ).


Lösungsansatz: Für w∈[u] gilt u=w f.ü. Daraus müsste doch auch folgen, dass ∣u∣=∣w∣ f.ü. Somit würde folgen, dass
∥w∥ℒ1(µ)=∥u∥ℒ1(µ) und somit ist
∥[u]∥L1(µ)=∥u∥ℒ1(µ)=∥w∥ℒ1(µ). Wenn das stimmt, ist es trivial zu zeigen, dass ∥[u]∥L1(µ) eine Norm definiert. Ich bin mir nur nicht sicher, ob das so stimmt, da die Definition über das Infimum doch eigentlich überflüssig wäre.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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