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LGS - Lösungen in Abhängigkeit des Parameters

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, LGS, Lineares Gleichungssystem, Parameter

roggenfaenger aktiv_icon

19:22 Uhr, 15.11.2014

Hallo,

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe

Gegeben sei das lineare Gleichungssystem:

t x + y + z = 1

x + t y + z = 2 t - 1

x + y + t z = t^{2}

Für welche Werte

t \in ℝ

1)

keine

2)

eine

3)

mehrere Lösungen

..Begründen Sie ihre Antwort.

Wie gehe ich hier vor?
Ich habe überleg den Gauß-Algorithmus anzuwenden. So richtig komme ich da aber auf keinen grünen Zweig. Ich schaffe es nur so weit:

nach Zeilen vertauschen:

(\begin{matrix} 1 & t & 1 & 2 t - 1 \\ t & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & t & t^{2} \end{matrix})

nun die dritte Zeil "*-t" und zur zweiten addieren.

(\begin{matrix} 1 & t & 1 & 2 t - 1 \\ 0 & 1 - t & 1 - t^{2} & 1 - t^{3} \\ 1 & 1 & t & t^{2} \end{matrix})

Jetzt weiß ich nicht mehr weiter, um die dritte Zeile auf die geforderte Form zu bringen. Außerdem frage ich mich, ob mich das rechnen mit dem Gauß-Algorithmus hier überhaupt weiterbringt - oder ob die Aufgabe durch reines "überlegen" zu lösen ist.

Wenn ich bspw.

t = 1

setze, kommt aus allen drei Gleichungen raus:

x + y + z = 1

Also hätte das LGS für

t = 1

mehrere Lösungen

(3)),

oder?

Wäre um einen kleinen Denkanstoß sehr dankbar!

Viele Grüße,

rf

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme

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ledum aktiv_icon

22:56 Uhr, 15.11.2014

Hallo
den Gaussallgorithmus einfach weiter machen. immer mit Hilfe der ersten Zeile den ersten Eintrag in ALLEN Zeilen beseitigen. Dann mit Hilfe der 2 ten Zeile die folgenden 2 ten Einträge beseitigen dann erst hast du hier Dreiecksform (bei mehr Zeilen geht es so weiter) . und kannst entscheiden ob es eine Lösung gibt, keine oder unendlich viele.
Gruß ledum

Respon

23:36 Uhr, 15.11.2014

Wegen der einfachen Struktur des LGS kann man

z . B

. auch die Cramersche Regel anwenden und erhält folgende FORMALE Lösungen:

x = - \frac{{(t - 1)}^{2} \cdot (t + 2)}{{(t - 1)}^{2} \cdot (t + 2)}

y = \frac{{(t - 1)}^{2} \cdot (t + 2)}{{(t - 1)}^{2} \cdot (t + 2)}

z = t \cdot \frac{{(t - 1)}^{2} \cdot (t + 2)}{{(t - 1)}^{2} \cdot (t + 2)}

\Rightarrow

Für

t \neq 1

und

t \neq - 2

gibt es genau ein Lösungstrippel

(x = - 1; y = 1; z = t)

Für

t = 1

oder

t = - 2

gibt es unendlich viele Lösungstrippel
Wenn man will, dann kann man hier noch präzisieren:

t = 1 \Rightarrow

zweifach unendliche Schar von Lösungen

t = - 2 \Rightarrow

einfach unendliche Schar von Lösungen.

Der Fall "keine Lösungen" kann nicht auftreten.

roggenfaenger aktiv_icon

18:19 Uhr, 16.11.2014

Danke für Eure Antworten!

@Respon: ich habe versucht, das LGS mit der Cramerschen-Regel zu lösen. Doch fällt es mir sehr schwer aus diesen langen Summen Faktoren zu machen, wie du es getan hast. Mit diesen Summen fällt es mir wirklich schwer eine Aussage zu treffen - außerdem kriege ich ein anderes Ergebnis..

Ich zeige mal, was ich hier versucht habe:

det [\begin{matrix} t & 1 & 1 \\ 1 & t & 1 \\ 1 & 1 & t \end{matrix}] = t^{3} + 1 + 1 - t - t - t = t^{3} - 3 t + 2

{det}_{x} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 t - 1 & t & 1 \\ t^{2} & 1 & t \end{matrix}] = t^{2} + t^{2} + 2 t - 1 - t^{3} - (2 t - 1) t - 1 = - t^{3} + 2 t^{2} + 2 t - 1 - 2 t^{2} - t - 1 = - t^{3} + t - 2

\Rightarrow \frac{det}{{det}_{x}} = \frac{t^{3} - 3 t + 2}{- t^{3} + t - 2} = x

Davon abgesehen, dass ich nicht weiß, wie ich soetwas faktorisieren soll, muss mein Ergebnis falsch sein. Bei Dir ist Nenner/Zähler identisch...

Was habe ich hier falsch gemacht?

Viele Grüße,

rf

ledum aktiv_icon

19:10 Uhr, 16.11.2014

Hallo
ich hab keine Lust, die Determinante auszurechnen, aber meist ist es besser erstmal nicht alles aufzulösen, sondern Klammern stehen lassen, dann gleich Faktoren ausklammern,
Aber warum hast du den Gauss Alg. nicht einfach zu Ende geführt, den musst du ja irgendwann üben.
wie sie dir etwa bei
www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm
an. Gruß ledum

Respon

19:33 Uhr, 16.11.2014

Die Determinante der Systemmatrix ist korrekt. Bei der Berechnung von

D_{x}

ist dir irgendwo ein Fehler passiert ( Nach welcher Zeile oder Spalte hast du entwickelt ? ).
Also

D = t^{2} - 3 \cdot t + 2

D_{x} = - t^{2} + 3 \cdot t - 2

Nach Cramer müsste es allerdings lauten:

\frac{D_{x}}{D}

Bezüglich Faktorisierung: Die Zahlen sind hier sehr einfach, man erkennt

t = 1

. Die Polynomdivision durch

(t - 1)

liefert dann eine quadratische Gleichung mit

t = 1 (

daher

{(t - 1)}^{2})

und

t = - 2

.
Zur Interpretation:
Ist der Nenner

\neq 0,

so gibt es genau eine Lösung.
Ist sowohl der Nenner als auch der Zähler

0 (

tritt also eine unbestimmte Form auf

),

so gibt es mehrere ( unendlich viele ) Lösungen. Die Vielfachheit der Nullstellen weist dann auf die einfache ( zweifache,

. .

. ) unendliche Schar von Lösungen hin. War allerdings in der Fragestellung nicht dezidiert verlangt.
Keine Lösung würde auftreten, wenn der Nenner 0 ist, der jeweilige Zähler aber

\neq 0

. Tritt bei diesem Beispiel also nicht ein.

Die Cramersche Regel ist bei größeren LGS ein geeignetes Instrumentarium, da Determinanten immer nach dem gleichen Schema berechnet werden können ( Laplacescher Entwicklungssatz ).

roggenfaenger aktiv_icon

23:54 Uhr, 17.11.2014

Vielen Dank für die genauen Ausführungen! :-)

Ich habe die Aufgabe nun versucht auf beiden Wegen zu lösen. Über die Cramer-Regel gelang es mir etwas besser. Aber letztendlich ging es auch mit dem Gauß-Algorithmus.

@ledum: Auf dieser Seite ist es nicht möglich mit Parametern bestückte LGS zu berechnen.
Hier ging es aber: matrixcalc.org/de/slu.html
Die Schritt für Schritt Erklärung fand ich sehr hilfreich.

Danke nochmal!

Viele Grüße,

rf

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