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LGS mit einer Inversen Matrix bestimmen

Schüler Stadtteilschule, 10. Klassenstufe

Tags: Inverse Matrix, LGS

shyline aktiv_icon

19:24 Uhr, 20.09.2017

Guten Abend,
ich muss bald eine Präsentationsleistung zum Thema Wachstums- und Umverteilungsprozesse halten. Nun habe ich ein Paar grundlegende Fragen:

1. Woher bekomme ich zu Anfang eine lineare Gleichung?
2. was ist eine inverse Matrix und wie kann ich mit dieser ein LGS lösen?
3. geht das auch ohne Gauss- Verfahren?

Ich würde mich sehr um Hilfe freuen, leider bin ich ein hilfloser fall und weis nicht mehr man wen ich mich richten soll, da mein Lehrer mir nicht helfen darf.

Mit freundlichen Grüßen
Shyline

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix

Femat aktiv_icon

22:18 Uhr, 20.09.2017

Ich zeige drei Arten das GLS zu lösen
Mit erweiterten Koeffizientenmatrix mit Gausseliminationsverfahren
Mit inverser der Koeff-Matrix
Mit Einsetzungs- etc -Verfahren

Da die Multiplikation nicht kommutativ ist, man nicht die Koeffizientenmatrix durch den Lösungsvektor dividieren kann, multipliziert man die Inverse der Koeffmatrix mit dem Lösungsvektor

Apilex aktiv_icon

22:28 Uhr, 20.09.2017

1)

Die Linearen Gleichungen ergeben sich direkt aus deinen Problemstellung die du behandeln möchtest.

Besipiel :
Ein Auto Von Ort A nach Ort

C

über den Ort B. Wobei

A, B

und

C

auf einer Geraden liegen und

B

zwischen A und

C

liegt. A und

C

sind

50

Km voneinander entfernt und das Auto braucht 1 Stunde von A nach C. auf der Strecke zwischen A und

B

fährt es

60

Km/h und auf der Strecke zwischen

B

und

C 30

Km/h.

Wie weit entfernt liegen A und B?

\to

In Gleischungen :

s_{A, B} + s_{B, C} = 50

[

Km]

t_{A, B} + t_{B, C} = t_{A, C} \Rightarrow 1 [h] = t_{A, C} =

s_(A,B)/(60Km/h)+s_(B,C)/(30Km/h)

Diese zwei Gleichungen :

\frac{s_{A, B}}{60} + \frac{s_{B, C}}{30} = 1

s_{A, B} + s_{B, C} = 50

lassen sich dann mit Matrizen so aufschreiben:

(\begin{matrix} \frac{1}{60} & \frac{1}{30} \\ 1 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} s_{A, B} \\ s_{B, C} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 50 \end{matrix}) (I)

2)

Die Inverse matrix

M^{- 1}

zur Matrix

M

ist die Matrix für die gilt

M^{- 1} \cdot M = E

die Einheitsmatrix ( Bsp.:

E_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \to

matrix die nur auf der Hauptdiagonalen den Eintrag 1 hat und sonst nur 0 asl Eintrag besitzt)

zum Lösen eines Gleichungsystems das mit hilfe von Matrizen im algemeinen so ausieht:

M \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}) \to

siehe

(I)

dann berechnet man

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})

indem man

M^{- 1}

von links multipliziert.

M \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})

\Rightarrow M^{- 1} \cdot M \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = M^{- 1} \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})

\Rightarrow E \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = M^{- 1} \cdot (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})

Das heißt die inverse Matrix mal den Lösungsvektor

(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})

ergibt dann den gesuchten Vektor.

3)

Die Inverse lässt sich am einfachsten über den Gaußalgorythmus bestimmen es gibt aber auch noch einige weitere Verfahren die aber nur für spezielle Matrizen schneller sind. In den meisten Fällen ist der Gaußalgorythmus (zumindest für das per Hand rechnen) der beste.

shyline aktiv_icon

22:50 Uhr, 20.09.2017

oh super, das hilft mir schon sehr weiter, in dem Punkt 2 haben wir ja nun ein

M,

ist das die Matrix aus dem LGS?
Und mein Problem ist noch, das ich eine Definition einer inversen Matrix aufstellen muss, leider finde ich dazu nichts.
Außerdem ist mein Thema Wachstums und Umverteilungsprozesse, jetzt habe ich nur etwas zum Austauschprozess gefunden, ist das zufällig das gleiche?
Danke danke danke

Apilex aktiv_icon

23:27 Uhr, 20.09.2017

ja mit dem

M

meine ich die Matrix aus dem Gleichungsystem.

Sei

M

ein Matrix (Quadratisch und invertierbar) dann gibt es genau eine Matrix

B

sodas gilt

B \cdot M = M \cdot B = E

wobei

E

die Einheitsmatrix mit der selben größe ist. Dann ist

B

die Inverse Matrix zu

M

und wird häufig mit

M^{- 1}

bezeichnet.

Beispiel:

M = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow M^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = E_{2}

Wachstums Prozesse sind zum Beispiel die Entwicklung von Bakterien kulturen oder Pflanzenwachstum.

Umverteilungsprozzesse und Austauschprozesse sind das gleiche und auch viele Wachstumsprozesse lassen sich auf ähnliche weise wie ein Austauschprozess behandeln(Zeilen und Spaltensumme ist dann nicht mehr unbedingt

1)

shyline aktiv_icon

14:28 Uhr, 21.09.2017

Ok soweit hab ich es sehr gut verstanden, nur verstehe ich leider nicht wie ich die inverse Matrix ausrechne und was die Einheitsmatrix damit zu tun hat.
In meinem Mathebuch steht etwas über kehrwerte die man wohl für die Berechnung der inversen braucht, dies verstehe ich ebenfalls nicht.
Immer noch vielen vielen dank für die Hilfe

Apilex aktiv_icon

15:44 Uhr, 21.09.2017

Die Berechnung der Inversen Matrix geht zum Beispiel über den Gaußalgorythmus:

Beispiel

M = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix})

Das verfahren beginnt mit der Matrix und der Einheitsmatrix
Man versucht danach durch den Gaußalgorythmus die vordere Matrix in die Einheitsmatrix zu überführen und führt aber die gleichen Umformungen mit der Einheitsmatrix durch.Hat man die rechte Matrix in die Einheitsmatrix überführt ergibt die ehemalige Einheitsmatrix jetzt die Inverse Matrix.

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ... ... ... |

(II)-(I)und (III)-(I)

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & - 1 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}) ... ... ... |

(III)+2*(II)

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ - 3 & 2 & 1 \end{matrix}) ... ... ... |

(III)*-1

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) | (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 3 & - 2 & - 1 \end{matrix}) ... ... ... |

(I)-2*(II)-3*(III)

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) | (\begin{matrix} - 6 & 4 & 3 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 3 & - 2 & - 1 \end{matrix})

fertig

Probe:

\Rightarrow (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 6 & 4 & 3 \\ - 1 & 1 & 0 \\ 3 & - 2 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \to

passt.

es gibt auch noch andere Verfahren zum Beispiel die cramersche Regel, die ist aber etwas umfangreicher. würde deshalb empfehlen sich dazu einfach ein paar Viedeos anzusehen oder bei Wikipedia zu versuchen die Grundlagen zuverstehen falls dieses Verfahren benötigt wird.

shyline aktiv_icon

15:49 Uhr, 21.09.2017

Ah ok, aber bei der Probe verstehe ich nicht wie da die einheitsmatrix rauskommt,

1 \cdot - 6

würde ich rechnen, aber da kommt ja nicht eins raus:/

Apilex aktiv_icon

16:11 Uhr, 21.09.2017

Die Multiplikation von Matrizen funktioniert nicht Komponenten weise sondern etwas anders.

\to

Empfehlung dafür Wikipedia Matrixmultipliaktion ansehen

Die erste 1 oben links ergibt sich dabei aus dem Skalarprodukt von Zeile 1 der linken Matrix und Spalte 1 der rechten matrix:

(1; 2; 3) \cdot (\begin{matrix} - 6 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) = 1 \cdot (- 6) + 2 \cdot (- 1) + 3 \cdot 3 = 1

shyline aktiv_icon

22:07 Uhr, 21.09.2017

ach doch! danke, ja das weiß ich eigentlich, aber das hab ich etwas verplant.
Vielen Dank für ihre Hilfe, sie haben mir wirklich weiter geholfen.
LG Shyline

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