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LGS mit komplexen Zahlen mi Gaußalgorithmus lösen

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Relationen

Tags: Gauß Algorithmus, Gleichungssystem, Komplexe Zahlen, LGS, Lineare Algebra

Simonweikert aktiv_icon

13:41 Uhr, 14.11.2015

Hi, ich habe für mein wöchentliches Übungsblatt die Aufgabe, ein LGS mit

ℂ

mit dem Gauß-Algorithmus zu lösen.

x + 2 (y + z) - i (2 x + y) = 1

(y + z) i + x + y = - 1

y - i x + z = 2

mit

x, y, z \in

Ich habe hier im Forum schon gelesen, dass ich nach real und imaginärteil aufteilen muss, allerdings hatte ich damit noch keinen erfolg. ich weiß, wie der Gauß algorithmus funktioniert, den müsst ihr mir nicht erklären. ich habe nur probleme damit, dass die gleichungen nicht in

1 x_{1} + 3 x_{2} + 4 x_{3} = 5

stehen.

Doch jetzt frage ich mich: Wie gehe ich vor?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

14:40 Uhr, 14.11.2015

Hallo
wenn

x, y, z \in ℂ

dann einfach in

ℂ

rechnen, nicht nach Imaginärteil und Realteil trennen
also erst ordnen:

(1 - 2 i) \cdot x + (2 - i) \cdot y + 2 z = 1

entsprechend die anderen 2.
dann umordnen damit die einfachste Gl in der ersten Zeile steht (hier

2 .) m

dann Gauss
Gruß ledum

Roman-22

14:56 Uhr, 14.11.2015

>

ich weiß, wie der Gauß algorithmus funktioniert
Schön! Sei dir bitte bewusst, dass er auch direkt mit komplexen Zahlen funktioniert. Man kann auch durch komplexe Zahlen dividieren und mit komplexen Zahlen multiplizieren und mehr benötigt der Gauß ja nicht.

>

ich weiß, wie der Gauß algorithmus funktioniert
Naja, eben den Algorithmus unverändert anwenden - nur eben mit komplexen Koeffizienten.

>

ich habe nur probleme damit, dass die gleichungen nicht in

1 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 = 5

stehen.
Also damit, dass deine Variablen hier

x, y

und

z

heißen und nicht

x_{1}, x_{2}

und

x_{3},

damit hast du doch sicher kein Problem, oder?
Und ansonsten kannst du dir die Gleichung ja so hinschreiben, wie du es (vernünftigerweise) gerne hättest. Dich irritiert offenbar, dass die Koeffizienten nicht reelle Zahlen wie die

1,3,4

in deinem Beispiel sind.

Ordne also die Gleichung entsprechend um, die erste deiner Gleichungen wird so zu

(1 - 2 i) \cdot x + (2 - 1 i) \cdot y + (2 + 0 i) \cdot z = (1 + 0 i)

Ebenso dann mit den anderen Gleichung und dann los mit dem Gauß.

>

Ich habe hier im Forum schon gelesen, dass ich nach real und imaginärteil aufteilen muss, allerdings hatte ich damit noch keinen erfolg.
Hmm, da müsstest du schon her zeigen, was du gemacht hast, um dazu etwas sagen zu können.
Jedenfalls: Man muss nicht nach Real- und Imaginaärteil aufteilen, aber man kann. Der Vorteil dieser Aufteilung ist, dass du nur mehr mit reellen Zahlen zu tun hast und dir die Rechnerei dadurch vermutlich leichter fällt. Der Nachteil allerdings ist, dass du dann nicht mehr drei Gleichungen in drei Unbekannten zu lösen hast, sondern sechs Gleichungen in sechs Unbekannten.

Die Vorgangsweise wäre dann wie folgt:
Setzen wir

x = x_{1} + x_{2} \cdot i, y = y_{1} + y_{2} \cdot i

und

z = z_{1} + z_{2} \cdot i

Wieder nur am Beispiel der ersten Gleichung:

x + 2 \cdot (y + z) - i \cdot (2 x + y) = 1

wird zu

x_{1} + x_{2} \cdot i + 2 \cdot (y_{1} + y_{2} \cdot i + z_{1} + z_{2} \cdot i) - i \cdot (2 x_{1} + 2 x_{2} \cdot i + y_{1} + y_{2} \cdot i) = 1

Wenn du das nun ausrechnest und in Komponentenform schreibst (beachte

i \cdot i = - 1),

ergibt sich

(x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 2 \cdot y_{1} + y_{2} + 2 \cdot z_{1} + 0 \cdot z_{2}) + (- 2 \cdot x_{1} + x_{2} - y_{1} + 2 \cdot y_{2} + 0 \cdot z_{1} + 2 \cdot z_{2}) \cdot i = 1 + 0 \cdot i

Daraus ergeben sich nur durch Vergleich von Real-, bzw. Imaginärteil der linken und rechten Seiten die beiden Gleichungen

x_{1} + 2 \cdot x_{2} + 2 \cdot y_{1} + y_{2} + 2 \cdot z_{1} + 0 \cdot z_{2} = 1

- 2 \cdot x_{1} + x_{2} - y_{1} + 2 \cdot y_{2} + 0 \cdot z_{1} + 2 \cdot z_{2} = 0

Das ganze Spiel nun auch noch mit den anderen beiden Angabegleichungen und du hast deine sechs Gleichungen für die sechs Variablen, aber dafür ist nur alles reell.

Deine Entscheidung, ob du nun lieber im Komplexen mit nur drei Gleichungen, oder im Reellen dafür mit sechs Gleichungen jonglierst.
Angedacht ist vom Aufgabensteller wahrscheinlich Ersteres und das wäre auch meine Wahl. (EDIT: Falsch, meine Wahl wäre ein CAS :-)

Zu deiner Kontrolle: Die Lösungen sind:

x = - 1 - i, y = - 1 - 2 i

und

z = 4 + i

R

1267814

1267783

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