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Länge einer Kurve berechnen (Herzkurve)

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Sonstiges

Tags: Geometrie, Herzkurve, Kardioid, Länge einer Kurve

LeniLena aktiv_icon

11:05 Uhr, 22.04.2012

Hallo, ich hab hier ne Aufgabe aus der Geometrie:

Sei

r : [0, 2 π] \to ℝ

gegeben durch

r (t) = 1 - s i n (t)

. der Weg

γ : [0, 2 π] \to ℝ^{2}

mit

γ (t) = (r (t) c o s (t), r (t) s i n (t))

beschreibt die Herzkurve (Kardioide). Berechnen Sie deren Länge.

Lösungsansatz:

also die Länge berechnet man ja durch das Integral:

\int_{0}^{2 π} ∣ ∣ \dot{γ} (t) ∣ ∣ d t = \int_{0}^{2 π} ∣ ∣ (s i n^{2} (t) - c o s^{2} (t) - s i n (t), c o s (1 - s i n (t)) d t

= \int_{0}^{2 π} \sqrt{s i n^{4} (t) + 2 s i n^{2} (t) c o s^{2} (t) - 2 s i n (t) c o s^{2} (t) - 2 s i n^{3} (t) + c o s^{4} (t)} d t

und laut wolframaplha ist dies dann:

= \int_{0}^{2 π} \sqrt{1 - 2 s i n (t)} d t

Leider komme ich dann dieser Stelle nicht mehr weiter. Weiss jemand wie man so etwas berechnen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

12:24 Uhr, 22.04.2012

Hallo,

Du kannst benutzen:

{sin (t)}^{2} + {cos (t)}^{2} = 1

und diese Gleichung quadriert.

Allerdings scheint bei Deiner Berechnung etwas nich zu stimmen: Der Ausdruck unter der Wurzel wird negativ,

z . b

. Für

t = \frac{π}{2}

. Überprüfe mal Dein Integral.

Gruß pwm

LeniLena aktiv_icon

18:05 Uhr, 22.04.2012

also ich habe das ganze integral eben bei wolframalpha eingegeben und da wurde mir diese vereinfachung ausgespuckt. vielleicht rechne ich einfach nochmal nach...

Paulus

18:26 Uhr, 22.04.2012

Hallo Leni

also ICH habe unter der Wurzel nicht

1 - 2 sin (t)

sondern

2 - 2 sin (t)

Gruss

Paul

LeniLena aktiv_icon

19:28 Uhr, 22.04.2012

wie hast du das denn gerechnet?
hast du schon weiter oben einen anderen ausdruck unter der wurzel oder hast du ein anderes programm zur berechnung benutzt?

LeniLena aktiv_icon

19:41 Uhr, 22.04.2012

hallo paulus,
ich habe nochmal alles genau nachgerechnet und ich komme jetzt auch auf dein ergebnis :-)
aber wie machst du denn an dieser stelle weiter?

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