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Längenberechnung Seil einer Winde

Sonstiges

Tags: Länge

Zicki aktiv_icon

17:26 Uhr, 01.02.2008

Hallo zusammen,

hat jemand ne Idee wie man mit einer vereinfachten Formel die aktuelle Seillänge berechnen kann. Im Moment lautet meine Formel

$\sqrt{((D u r c h m e s s e r T r o m m e l + D u r c h m e s s e r S e i l * L a g e n) * P I) ² + D u r c h m e s s e r S e i l ²} * W i n d u n g e n$

allerdings muss man dann jede Lage gesondert berechnen.

DK2ZA aktiv_icon

18:32 Uhr, 01.02.2008

Trommeldurchmesser = D

Seildurchmesser = d

Anzahl der Windungen je Lage = w

Anzahl der Lagen = n

Durchmesser der innersten Lage ist D + d

Eine Windung auf dieser Lage hat die Länge (D + d) * Pi

Bei w Windungen je Lage ist die Seillänge auf dieser Lage w * (D + d) * Pi

Die zweite Lage hat den Durchmesser D + 2*d

Also ist die Seillänge hier w * (D + 2*d) * Pi

Auf der dritten Lage ist die Seillänge w * (D + 3*d) * Pi

Auf der n-ten Lage ist die Seillänge w * (D + n*d) * Pi

Die Gesamtlänge des Seiles ist also

w * (D + d) * Pi + w * (D + 2*d) * Pi + w * (D + 3*d) * Pi + ........ + w * (D + n*d) * Pi =

w * Pi ausklammern:

= w * Pi * (D + 1*d + D + 2*d + D + 3*d + ..... + D + n*d) =

= w * Pi * (n*D + d*(1+2+3+...+n)) =

= w * Pi * (n*D + d * n/2 * (n+1)) =

= w * Pi * n * (D + d * (n+1)/2)

GRUSS, DK2ZA

anonymous

14:44 Uhr, 18.10.2018

Moin DK2ZA,

müsste der Durchmesser der zweiten Lage nicht schon

D + 3 \cdot d

sein?

Nach der ersten Lage ist der Trommeldurchmesser auf beiden Seiten um einen Seildurchmesser angewachsen

(D \Rightarrow D + 2 d)

. Der Durchmesser der Mittellinie der zweiten Lage liegt somit bei

D + 2 d + d = D + 3 d

.

Die folgenden Durchmesser sind somit:
3. Lage:

D + 5 d

4. Lage:

D + 7 d

. .

n

. Lage:

D + (2 n - 1) d

Daraus folgt die Gesamtlänge analog zu deiner Rechnung:

w \cdot (D + d) \cdot π + w \cdot (D + 3 \cdot d) \cdot π + w \cdot (D + 5 \cdot d) \cdot π + ... + w \cdot (D + (2 n - 1) \cdot d) \cdot π

= w \cdot π \cdot [D + d + D + 3 \cdot d + D + 5 \cdot d + ... + D + (2 n - 1) \cdot d]

= w \cdot π \cdot [n \cdot D + d \cdot (1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1)]

Glücklicherweise lässt sich das gut vereinfachen:

1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = \sum_{i = 1}^{n} 2 i - 1 = n^{2}

Und als Endergebnis erhalten wir:

w \cdot π \cdot (n \cdot D + d \cdot n^{2})

= w \cdot π \cdot n \cdot (D + d \cdot n)

Beste Grüße
Thorben

maxsymca

16:08 Uhr, 18.10.2018

Für Folienlängen verwende ich

ergänzt um die Anzahl der Windungen w

l=(Da^2-Di^2)*PI/4/d * w

d= Seildurchmesser (q)
Da=Durchmesser der Trommel (D)
Di=Durchmesser des Auflagenkerns (d)

Berichte mal, wie sich die Formel schlägt...

RollenAufgabeDokumentieren.pdf_2018-10-18_16-05-16

anonymous

14:35 Uhr, 22.10.2018

Moin maxsymca,

deine Formel schlägt sich sehr gut. Mit ein klein wenig Umformung kann man sogar zeigen, dass beide Formeln ein identisches Ergebnis liefern. Deine Formel eignet sich besonders gut für Fälle in denen man die Anzahl der Lagen

(n)

nicht zählen kann (zB bei den von dir angesprochenen Folien).

Zunächst eine kleine Korrektur deiner Äquivalenzen:

q =

Seildurchmesser

(d)

D_{a} =

Durchmesser der Trommel

(D + n \cdot d)

D_{i} =

Durchmesser des Auflagenkerns

(D)

Für die Umformung wähle ich eine andere Darstellung des Kreisringflächeninhalts:

A = \frac{D_{a}^{2} - D_{i}^{2}}{4} \cdot π = (D_{i} + b) \cdot b \cdot π

Quelle: www.frustfrei-lernen.de/mathematik/kreisring.html

Dabei ist

b

die Breite des Kreisringes und lässt sich natürlich mit den Trommeldurchmessern aber auch mit der Seildicke und der Anzahl der Lagen berechnen:

b = \frac{D_{a} - D_{i}}{2} = n \cdot q

Damit lässt sich deine Formel wie folgt schreiben:

l = \frac{(D_{i} + b) \cdot b \cdot π \cdot w}{q}

= \frac{(D_{i} + n \cdot q) \cdot n \cdot q \cdot π \cdot w}{q}

= (D_{i} + n \cdot q) \cdot n \cdot π \cdot w

Zum Vergleich nochmal die verbesserte Formel von DK2ZA:

l = (D + n \cdot d) \cdot n \cdot π \cdot w

Beste Grüße
Thorben

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