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Lage der Kreise

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Lage der Kreise

Conny1990 aktiv_icon

10:28 Uhr, 08.04.2010

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kreise. Vergleichen Sie dazu den Abstand der Mittelpunkte mit der Summe oder der Differenz der Radien.

a) K 1 :

x1hoch2 +x2hoch2

+ 6 x 1 - 4 x 2 = 12; k 2 :

x1hoch2

+

x2hoch2

+ 6 x 1 - 18 x 2 + 86 = 0

b) K 1 :

x1hoch2 +x2hoch2

- 6 x 1 + 8 x 2 = 0; k 2 :

x1hoch2

+

x2hoch2

- 4 x 1 + 6 x 2 = - 9

c) K 1 :

x1hoch2 +x2hoch2

+ 2 x 1 = 19; k 2 :

x1hoch2

- 6 x 1 +

x2hoch2

- 8 x 2 = - 21

Den Mittelpunkt und den Radius konnte ich bestimmen:

a) k 1 :

(x1+3)hoch2

+

(x2-2)hoch2

= 25; M (- 3; 2), r = 5

k 2 :

(x1+3)hoch2

+

(x2-9)hoch2

= 4; M (- 3; 9), r = 2

b) k 1 :

(x1-3)hoch2

+

(x2+4)hoch2

= 25; M (3; - 4), r = 5

k 2 :

(x1-2)hoch2

+

(x2+3)hoch2

= 4; M (2; - 3), r = 2

c) k 1 :

(x1+1)hoch2

+

x2hoch2

= 20; M (- 1; 0),

r=2*wurzel aus 5

k 2 :

(x1-3)hoch2

+

(x2-4)hoch2

= 4; M (3; 4), r = 2

Gegenseitige Lage:

a)Strecke:M1M2=

7 = r 1 + r 2

Kreise berühren sich.
b)Strecke:

M 1 M 2 =

wurzel aus

2 < r 1 - r 2 k 2

liegt innerhalb von

k 1 .

c)Strecke:

M 1 M 2 =

wurzel aus

32 < r 1 + r 2,

Kreise schneiden sich.

Hieran verstehe ich nicht, wann

r 1

und

r 2

addiert oder subtrahiert werden, woher bei

b)

die wurzel aus 2 und bei c)die wurzel aus

32

herkommen und woher man weiß, dass dann

k 1

innerhalb von

k 1

liegt, sich die Kreise schneiden, berühren etc.

Wär super gut, wenn mir jemand das geschilderte erklären kann. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michael777 aktiv_icon

10:56 Uhr, 08.04.2010

aus Zeitgründen nur mal ein Teil:

"woher bei

b)

die wurzel aus 2 und bei c)die wurzel aus

32

herkommen"

kennst du die Formel, mit der man den Abstand zweier Punkte berechnet?

P_{1} (x_{1} | y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2})

d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

bei

b) \sqrt{{(2 - 3)}^{2} + {(- 3 + 4)}^{2}} = \sqrt{2}

Conny1990 aktiv_icon

11:03 Uhr, 08.04.2010

Ja, stimmt. Danke... Und wann muss ich jetzt addieren und subtrahieren etc.?

michael777 aktiv_icon

11:51 Uhr, 08.04.2010

damit ich hier nicht soviel schreiben muß, schau bitte mal hier nach:

http://books.google.de
"Rolf Baumann gegenseitige lage zweier Kreise" eingeben

dort sind die 5 möglichen Fälle ausführlich beschrieben

Conny1990 aktiv_icon

13:01 Uhr, 08.04.2010

Okay, ich habe es jetzt ungefähr verstanden. Aber woher weiß ich, ob ich subtrahieren oder addieren muss?

Sams83 aktiv_icon

16:40 Uhr, 08.04.2010

Hallo,

fang am besten mit

r 1 + r 2

an:

1)

Wenn Strecke

M 1 M 2

grösser als

r 1 + r 2

ist, dann liegen die beiden Kreise nebeneinander (nicht ineinander, beruehren sich nicht, schneiden sich nicht)

2)

Wenn Strecke

M 1 M 2

genau gleich

r 1 + r 2

ist, dann liegen die Kreise nebeneinander und beruehren sie sich genau in einem Punkt.

3)

Wenn Strecke

M 1 M 2

kleiner als

r 1 + r 2

ist, gibt es mehrere Möglichkeiten:

a)

Die Kreise schneiden sich in zwei Punkten

b)

Die Kreise liegen ineinander, beruehren sich in einem Punkt

c)

Die Kreise liegen ineinander, beruehren sich nicht

Soweit klar?

Um zwischen den drei Fällen

a), b), c)

zu unterscheiden, benutzt man dann die Differenz von

r 1

und

r 2

. Das ist etwas komplizierter, sich vorzustellen, finde ich...
Also, zunächst mal die Frage, ob die Erklärung fuer die obigen Unterteilungen verstanden sind. Mach' Dir ne Skizze fuer jeden Fall bzw. schau in den Link, den Michael dir gegeben hat.

Wenn Du's bis dahin verstanden hast, mach' ich weiter mit meinen Erklärungen :-) sonst frag' nach...

Conny1990 aktiv_icon

18:18 Uhr, 08.04.2010

Ja, das habe ich mir grade klar gemacht mit deiner Erklärung! Danke!

Sams83 aktiv_icon

18:34 Uhr, 08.04.2010

Super!

Nun gibt's also noch die drei Fälle bei

3)

a)

Die Kreise schneiden sich in zwei Punkten

b)

Die Kreise liegen ineinander, beruehren sich in einem Punkt

c)

Die Kreise liegen ineinander, beruehren sich nicht

Zeichne Dir am Besten auch hier alle Fälle auf.

Fuer

a)

gilt, dass die Strecke

M 1 M 2

grösser als

r 1 - r 2

ist
Fuer

b)

gilt, dass die Strecke

M 1 M 2

genau gleich

r 1 - r 2

ist
Fuer

c)

gilt, dass die Strecke

M 1 M 2

kleiner als

r 1 - r 2

ist

Am besten nachzuvollziehen geht das, wenn Du Dir zunächst Fall

b)

anschaust, da kannst Du sehen, dass

M 1 M 2 = r 1 - r 2

gilt.
Nun nimmst Du dieselben Kreise, die Kreisgrösse bleibt also gleich, also ist

r 1 - r 2

gleich gross wie vorher.

Wenn Du die Mittelpunkte aufeinander zu bewegst, machst Du

M 1 M 2

kleiner, und Fall

c)

tritt ein. Der kleine Kreis rutscht in den grossen hinein, sie beruehren sich nicht mehr.

Bewegst Du die Mittelpunkt voneinander weg, machst Du

M 1 M 2

grösser (also grösser als

r 1 - r 2),

Fall

a)

tritt ein, dass sich die beiden Kreise in 2 Punkten schneiden.

Ist das verständlich?

Conny1990 aktiv_icon

18:48 Uhr, 08.04.2010

Danke! Das ist sehr verständlich... Ich meld mich aber, wenn ich nochmal hängen bleibe.

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