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Lagrange-Methode mit Nebenbedingung

Universität / Fachhochschule

Tags: Lagrange-Methode, maxima, Minima, Nebenbedingung, Reelle Zahlen

Icardi9 aktiv_icon

19:24 Uhr, 05.11.2024

Bestimmen Sie mithilfe der Lagrange-Methode alle Maxima und Minima der Funktion

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

unter der Nebenbedingung

\frac{{(x + y)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - y)}^{2}}{b^{2}} = 1

. Hierbei sind a und

b

reelle Parameter mit

0 < a < b

Meine Ansätze:

Formel: L(x,y,λ)=

f (x, y) +

λ*g(x,y)

1 : L = x^{2} + y^{2} +

λ(((x+y)^2/a^2)+((x-y)^2/b^2)-1)
2: Ableiten nach

x, y

und λ und Nullsetzen

df/dx= 2x+λ*((2(x+y)/a^2)+(2(x-y)/b^2)=0
df/dy= 2y+λ*((2(x+y)/a^2)-(2(x-y)/b^2)=0
df/dλ((x+y)^2/a^2)+((x-y)^2/b^2)-1)=0

Ab hier weiß ich leider nicht wie weiter mache?

Könnte mir jemand den weiteren Rechenschritt aufschreiben?

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

mathadvisor aktiv_icon

21:41 Uhr, 05.11.2024

Grundsätzlich: Die 3. Gleichung ist die NB. Warum man die als Ableitung notiert (machen viele) ist mir unklar. Hat das Risiko, sich dabei zu verrechnen.
Ansonsten, Gleichungen anschauen und Gemeinsamkeiten suchen. Was ist gleich, was ist unterschiedlich. Das führt zu der Idee: Gl1 und Gl2 addieren, umstellen nach x+y. Gl1 und Gl2 subtrahieren, umstellen nach x-y. Wie beim Gauß-Alg.

Respon

23:22 Uhr, 05.11.2024

Aus der ersten und der zweiten Gleichung folgt:

λ \cdot (\frac{2 \cdot (x + y)}{a^{2}} + \frac{2 \cdot (x - y)}{b^{2}}) = - 2 \cdot x

λ \cdot (\frac{2 \cdot (x + y)}{a^{2}} - \frac{2 \cdot (x - y)}{b^{2}}) = - 2 \cdot y

Eliminiere

λ,

indem du den Quotienten dieser Gleichungen bildest und den Doppelbruch auflöst.

\frac{2 \cdot b^{2} \cdot (x + y) + 2 \cdot a^{2} (x - y)}{2 \cdot b^{2} \cdot (x + y) - 2 \cdot a^{2} \cdot (x - y)} = \frac{x}{y}

Das lässt sich umformen zu

(a^{2} - b^{2}) \cdot 2 \cdot (x^{2} - y^{2}) = 0

(a + b) \cdot (a - b) \cdot 2 \cdot (x + y) \cdot (x - y) = 0

Die beiden ersten Faktoren sind lt. Voraussetzung

\neq 0 \Rightarrow y = - x \lor y = x

Einsetzen in die dritte Gleichung liefern die "Anwärter" für die Extrema.

mathadvisor aktiv_icon

23:26 Uhr, 05.11.2024

Dividieren durch Terme mit Variablen sollte man vermeiden, weil dann Fallunterscheidungen nötig sind.

Respon

23:44 Uhr, 05.11.2024

Wegen

0 < a < b

gibt es hier keine Notwendigkeit einer Fallunterscheidung.

mathadvisor aktiv_icon

23:46 Uhr, 05.11.2024

Doch, nach Quotientenbildung.

HAL9000

12:42 Uhr, 06.11.2024

Quotientenbildung kann umgangen werden: Addieren bzw. Subtrahieren der beiden Gleichungen liefert

(\frac{4 λ}{a^{2}} + 2) \cdot (x + y) = 0

(\frac{4 λ}{b^{2}} + 2) \cdot (x - y) = 0

.

Es können nicht beide Faktoren

(\frac{4 λ}{a^{2}} + 2)

und

(\frac{4 λ}{b^{2}} + 2)

zugleich gleich Null sein (nachprüfen!), damit gilt für alle kritischen Punkte

x = y

oder

x = - y

.

------------------------------------------------------------------------

Alternativlösung ohne Lagrange: Es ist

f (x, y) = \frac{1}{2} [{(x + y)}^{2} + {(x - y)}^{2}]

und damit

f (x, y) = \frac{a^{2}}{2} [\frac{{(x + y)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - y)}^{2}}{a^{2}}] \geq \frac{a^{2}}{2} [\frac{{(x + y)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - y)}^{2}}{b^{2}}] = \frac{a^{2}}{2}

mit Gleichheit für

x = y

, d.h.

x = y = \pm \frac{a}{2}

. Analog folgt

f (x, y) = \frac{b^{2}}{2} [\frac{{(x + y)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(x - y)}^{2}}{b^{2}}] \leq \frac{b^{2}}{2} [\frac{{(x + y)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - y)}^{2}}{b^{2}}] = \frac{b^{2}}{2}

mit Gleichheit für

x = - y

, d.h.

x = - y = \pm \frac{b}{2}

. Zugegeben, damit erfasst man nur die globalen Extrema der Funktion und hat keinen Nachweis, dass es hier nicht evtl. noch weitere lokale Extrema gibt (was hier allerdings nicht der Fall ist).

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